Тип 25 № 21465

1. Определим фокусное расстояние. Оптическая сила линзы $D_0$ связана с фокусным расстоянием $F$ формулой: $$F = \frac{1}{D_0} = \frac{1}{-5} = -0{,}2 \text{ м} = -20 \text{ см}.$$ Отрицательное значение указывает на то, что линза рассеивающая (мнимый фокус). Модуль фокусного расстояния $|F| = 20$ см.

2. Построение хода лучей. Пусть источник света находится в точке $S$. Расстояние от источника до линзы $SO = 2|F|$ (так как он на двойном фокусном расстоянии). Чтобы найти границу светового пятна, рассмотрим луч $SA$, который идет от источника к верхнему краю оправы линзы (в точку $A$, отстоящую от главной оптической оси на радиус $r = 2$ см). Для построения хода этого луча после преломления удобно использовать вспомогательный луч $KO$, проходящий через оптический центр линзы $O$ параллельно лучу $SA$. Так как луч, идущий через центр, не меняет своего направления, побочный фокус $M$ (точка пересечения луча $KO$ с фокальной плоскостью) лежит на продолжении преломленного луча $SA$. Таким образом, преломленный линзой луч $SA$ идет так, будто он вышел из мнимого источника $E$.

3. Нахождение положения мнимого изображения. Точка $E$ является мнимым изображением точки $S$. По формуле тонкой линзы (с учетом правила знаков для рассеивающей линзы): $$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F},$$ где $d = SO = 2|F|$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от линзы до мнимого изображения (берем со знаком минус). Перепишем уравнение, подставив известные значения: $$\frac{1}{2|F|} - \frac{1}{|f|} = -\frac{1}{|F|}.$$ Решая это уравнение, получаем: $$\frac{1}{|f|} = \frac{1}{2|F|} + \frac{1}{|F|} = \frac{3}{2|F|} \implies |f| = OE = \frac{2|F|}{3}.$$ То есть мнимое изображение находится ближе к линзе, чем её фокус.

4. Расчет диаметра пятна на экране. Рассмотрим два подобных треугольника: $\triangle EAO$ (образованный мнимым изображением, центром линзы и краем оправы) и $\triangle EBC$ (образованный мнимым изображением, точкой пересечения луча с экраном и проекцией этой точки на ось). Из подобия треугольников следует пропорция: $$\frac{EO}{EC} = \frac{AO}{BC}.$$ Здесь $AO = r = 2$ см — радиус оправы, $BC = D/2$ — половина искомого диаметра пятна. Расстояние от линзы до экрана $L = 40$ см. Тогда отрезок $EC = L + OE = 40 + \frac{2 \cdot 20}{3} = \frac{160}{3}$ см.

Составим пропорцию: $$\frac{2|F|/3}{L + 2|F|/3} = \frac{r}{D/2} \implies \frac{D}{2} = r \cdot \frac{L + 2|F|/3}{2|F|/3}.$$ Упростим выражение: $$D = r \cdot \frac{3L + 2|F|}{|F|}.$$ Подставим числовые значения: $$D = 2 \text{ см} \cdot \frac{3 \cdot 40 \text{ см} + 2 \cdot 20 \text{ см}}{20 \text{ см}} = 2 \cdot \frac{120 + 40}{20} = 2 \cdot 8 = 16 \text{ см}.$$