Тип 22 № 21671

Дано:
$m = 2$ кг
$k = 200$ Н/м
$a_{\text{max}} = 10$ м/c$^2$
Найти: $v_{\text{max}} - ?$

Выполним рисунок, на котором укажем силы, действующие на груз.

Спроецируем второй закон Ньютона на горизонтальную ось $x$: $$F = ma$$

Поскольку сила упругости подчиняется закону Гука, её модуль равен: $$F = kx$$

Приравняв эти выражения, получим связь между амплитудой колебаний $x$ и максимальным ускорением: $$kx = ma \Rightarrow x = \frac{ma}{k} \quad (1)$$

Согласно закону сохранения механической энергии, в момент прохождения положения равновесия вся потенциальная энергия деформированной пружины переходит в кинетическую энергию груза: $$\frac{kx^2}{2} = \frac{mv_{\text{max}}^2}{2}$$

Отсюда выразим искомую максимальную скорость: $$v_{\text{max}} = x\sqrt{\frac{k}{m}} \quad (2)$$

Подставим выражение для амплитуды (1) в уравнение (2): $$v_{\text{max}} = \frac{ma}{k} \sqrt{\frac{k}{m}} = a\sqrt{\frac{m}{k}}$$

Произведём расчёт, подставив числовые значения физических величин: $$v_{\text{max}} = 10 \text{ м/с}^2 \cdot \sqrt{\frac{2 \text{ кг}}{200 \text{ Н/м}}} = 1 \text{ м/с}$$