Тип 25 № 21674

1) Анализ начального положения. Рассмотрим подобие треугольников $ABO$ и $ODC$ в исходном состоянии (до перемещений). Из подобия следует, что отношение высоты изображения к высоте предмета равно отношению расстояний от линзы до изображения и до предмета: $$\Gamma = \frac{h_1^*}{h} = \frac{f_1}{d_1} = 5,$$ откуда следует, что $$f_1 = 5d_1.$$

Запишем формулу тонкой собирающей линзы для первого случая: $$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1}.$$

Подставим в это выражение соотношение $f_1 = 5d_1$: $$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{5d_1} = \frac{6}{5d_1}.$$

Выразим отсюда расстояние от предмета до линзы: $$d_1 = \frac{6}{5}F.$$

Тогда расстояние от линзы до экрана в первом случае: $$f_1 = 5d_1 = 6F.$$

2) Анализ нового положения. Экран придвинули к линзе, из-за чего расстояние до изображения должно уменьшиться. Чтобы получить резкое изображение при меньшем расстоянии $f_2$, предмет необходимо отодвинуть от линзы. Обозначим величину смещения предмета как $\Delta d$. Новое расстояние от предмета до линзы: $$d_2 = d_1 + \Delta d = \frac{6}{5}F + \Delta d.$$

Применим формулу тонкой линзы для новой конфигурации: $$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2},$$ откуда выразим новое расстояние до изображения: $$f_2 = \frac{F d_2}{d_2 - F}.$$

Подставим в полученное выражение формулу для $d_2$: $$f_2 = \frac{F \left( \frac{6}{5}F + \Delta d \right)}{\left( \frac{6}{5}F + \Delta d \right) - F} = \frac{F \left( \frac{6}{5}F + \Delta d \right)}{\frac{1}{5}F + \Delta d}.$$

Умножим числитель и знаменатель на 5, чтобы избавиться от дробей: $$f_2 = \frac{F(6F + 5\Delta d)}{F + 5\Delta d}.$$ 3) Определение искомого смещения экрана. Пусть $x$ — величина, на которую сдвинули экран. Очевидно, что она равна разности первоначального и нового расстояний от линзы до изображения: $$x = f_1 - f_2.$$

Подставим в эту разность найденные выражения для $f_1$ и $f_2$: $$x = 6F - \frac{F(6F + 5\Delta d)}{F + 5\Delta d}.$$

Приведём выражение к общему знаменателю: $$x = \frac{6F(F + 5\Delta d) - F(6F + 5\Delta d)}{F + 5\Delta d}.$$

Раскроем скобки в числителе: $$x = \frac{6F^2 + 30F\Delta d - 6F^2 - 5F\Delta d}{F + 5\Delta d} = \frac{25F\Delta d}{F + 5\Delta d}.$$

Итоговая формула для смещения экрана: $$x = \frac{25F\Delta d}{F + 5\Delta d}.$$

4) Расчёт значения. Подставим в формулу известные числовые данные: $$x = \frac{25 \cdot 30 \cdot 3}{30 + 5 \cdot 3} = \frac{2250}{45} = 50 \text{ см}.$$