Тип 25 № 21776

Построим изображение $S'$ точечного источника $S$ с помощью двух стандартных лучей: параллельного главной оптической оси (после линзы проходит через её задний фокус) и идущего через оптический центр $O$ без преломления. Луч $SA$, падающий на экран, проходит сквозь отверстие $A$, падает на собирающую линзу в точке $K$ и после преломления обязан пройти через действительное изображение $S'$, пересекая главную оптическую ось в точке $N$ на расстоянии $x$ от плоскости линзы.

Пусть $B$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $S$ на оптическую ось, $F$ — передний фокус (точка пересечения экрана с осью), а $C$ — точка пересечения луча $SA$ с оптической осью.

1. Из подобия прямоугольных треугольников $\triangle SBC \sim \triangle CFA$: $$\frac{H}{h} = \frac{BC}{CF} \implies \frac{BC}{CF} = \frac{5}{4}$$ Пусть $BC = 5k$, $CF = 4k$. Тогда расстояние от источника света до линзы равно: $$b = BC + CF + F = 9k + F$$

2. Запишем формулу тонкой линзы для нахождения расстояния $f$ от плоскости линзы до плоскости изображения $S'$: $$\frac{1}{F} = \frac{1}{b} + \frac{1}{f} \implies f = \frac{bF}{b - F} = \frac{(9k + F)F}{9k}$$

3. Из подобия треугольников $\triangle CFA \sim \triangle COK$ определим высоту точки падения луча на линзу $y_0 = OK$: $$\frac{y_0}{h} = \frac{CO}{CF} = \frac{4k + F}{4k} \implies y_0 = \frac{h(4k + F)}{4k}$$

4. Высота изображения $S'B'$ связана с высотой источника через линейное увеличение: $$S'B' = H \cdot \frac{f}{b} = \frac{HF}{9k}$$ Из подобия треугольников $\triangle ONK \sim \triangle NB'S'$ запишем отношение катетов: $$\frac{y_0}{S'B'} = \frac{ON}{NB'} = \frac{x}{x - f} \implies \frac{h(4k + F) \cdot 9k}{4k \cdot HF} = \frac{x}{x - f}$$

5. Подставим числовые данные ($H = 5\text{ см}$, $h = 4\text{ см}$, $F = 20\text{ см}$, $x = 40\text{ см}$): $$\frac{4(4k + 20) \cdot 9k}{4k \cdot 5 \cdot 20} = \frac{40}{40 - f}, \quad \text{где } f = \frac{(9k + 20) \cdot 20}{9k}$$ После упрощения левой части и знаменателя правой части приходим к квадратному уравнению: $$9k^2 - 25k - 100 = 0$$ Дискриминант уравнения $D = (-25)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-100) = 4225 = 65^2$. Находим положительный корень: $$k = \frac{25 + 65}{18} = 5\text{ см}$$

6. Рассчитаем искомое расстояние от источника до линзы: $$b = 9k + F = 9 \cdot 5 + 20 = 65\text{ см}$$

Ответ: 65