Тип 25 № 22015

Для решения задачи вспомним формулу для тонкой линзы, а именно: $$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$$ Откуда выразим расстояние от линзы до изображения: $$f=\left(\frac{1}{F}-\frac{1}{d}\right)^{-1}=\frac{Fd}{d-F}\tag{1}$$ Теперь рассмотрим первый случай. И так как $d=2F$, то расстояние до изображения можно найти по формуле: $$f=\frac{F \cdot 2F}{2F - F} = 2F$$ Сделаем рисунок с указанием хода лучей:

Теперь рассмотрим второй случай. А именно при повороте линзу на угол $\alpha = 30^\circ$ мы можем перейти в новую систему координат, повернутую относительно начальной на угол $\alpha$. Сделаем рисунок с указанием нового хода лучей:

И уже в новой системе отчёта исходя из геометрии расстояние от линзы до предмета и расстояние от линзы до изображения можно найти по формулам: $$d=d'\cos{\alpha}$$

$$f' = (f + \Delta f) \cos \alpha$$

Подставим получившиеся значения в формулу (1): $$(f + \Delta f) \cos \alpha = \frac{d \cos \alpha \cdot F}{d \cos \alpha - F} \Rightarrow \Delta f = \frac{d \cdot F}{d \cos \alpha - F} - f = \frac{F(d + f) - df \cos \alpha}{d \cos \alpha - F}$$ И так как $f = 2F$ и $d = 2F$, то $$\Delta f = \frac{F(2F + 2F) - 2F \cdot 2F \cos \alpha}{2F \cos \alpha - F} = \frac{4F(1 - \cos \alpha)}{2 \cos \alpha - 1} = \frac{4 \cdot 0{,}7 \cdot(1 - \sqrt{3}/2)}{2 \cdot \sqrt{3}/2 - 1} \approx 0{,}51 \text{ м}$$ Ответ: $0{,}51 \text{ м}$