Тип 26 № 22474

Обоснование

1. Введём инерциальную систему отсчёта (ИСО), связанную с Землёй.
2. Грузы движутся поступательно, поэтому их можно считать материальными точками.
3. Значит, движение тел в ИСО можно описывать законами Ньютона.
4. Блоки идеальные, трения нет, нить невесома, поэтому на тела и блоки со стороны нити действуют силы натяжения, одинаковые по модулю.
5. Нить нерастяжима, поэтому между движениями тел есть кинематические связи.
6. Силы, действующие на тела, постоянны, поэтому, согласно второму закону Ньютона, движение можно считать равноускоренным.

Решение

Расставим на рисунке силы, действующие на грузы и блок, и введём оси: ось $Ox$ направим горизонтально вправо, ось $Oy$ вертикально вниз.

Нить невесома, а блоки идеальны, поэтому $T_1 = T_2 = T_3 = T_4 = T$. Запишем второй закон Ньютона для грузов в проекции на ось $x$ ($a_1$ и $a_2$ — модули ускорений грузов; груз 1 движется вправо, груз 2 влево):

$$\begin{cases} T = m_1 a_1, \\ T = m_2 a_2. \end{cases}$$

Подвижный блок невесом, поэтому равнодействующая приложенных к нему сил равна нулю:

$$F = 2T \Rightarrow T = \frac{F}{2}.$$

Длина нити постоянна и равна

$$(x_A - x_1) + (x_2 - x_B) + \frac{\pi r}{2} + \frac{\pi r}{2} + \pi R + 2(y_0 - 0) = l,$$

где $r$ и $R$ — радиусы неподвижных и подвижного блоков. Отсюда для приращений

$$\Delta x_2 - \Delta x_1 + 2\Delta y_0 = \Delta l = 0.$$

Дважды продифференцировав по времени, получим связь между ускорениями:

$$a_{2x} - a_{1x} + 2a_{0y} = 0.$$

Спроецировав на оси, получим

$$-a_2 - a_1 + 2a_0 = 0 \Rightarrow a_0 = \frac{a_1 + a_2}{2}.$$

Из второго закона Ньютона с учётом $T = \frac{F}{2}$:

$$a_1 = \frac{F}{2m_1}, \qquad a_2 = \frac{F}{2m_2}.$$

Следовательно,

$$a_0 = F \cdot \frac{m_1 + m_2}{4 m_1 m_2} = 4\text{ Н} \cdot \frac{0{,}5\text{ кг} + 2\text{ кг}}{4 \cdot 0{,}5\text{ кг} \cdot 2\text{ кг}} = 2{,}5\text{ м/с}^2.$$