Обоснование
Введём инерциальную систему отсчёта (ИСО), связанную с Землёй. Все тела движутся поступательно, поэтому их можно считать материальными точками. Применим второй и третий законы Ньютона, записывая их относительно ИСО. Нить нерастяжима, её длина остаётся неизменной, поэтому для описания движения тел можно использовать кинематические связи. Нить невесома, а блоки идеальны, трения нет, поэтому сила натяжения вдоль одной нити остаётся неизменной. Силы, действующие на тела, постоянны, поэтому, согласно второму закону Ньютона, движение можно считать равноускоренным. Решение
Изобразим на рисунке силы, действующие на грузы. Силу натяжения верхней нити обозначим T 1 T_1 T 1 T 2 T_2 T 2 x x x
Запишем второй закон Ньютона для каждого груза:
{ T ⃗ 1 + m 1 g ⃗ = m 1 a ⃗ 1 , T ⃗ 2 + m 2 g ⃗ = m 2 a ⃗ 2 , T ⃗ 2 + m 3 g ⃗ = m 3 a ⃗ 3 , \begin{cases} \vec{T}_1 + m_1\vec{g} = m_1\vec{a}_1, \\ \vec{T}_2 + m_2\vec{g} = m_2\vec{a}_2, \\ \vec{T}_2 + m_3\vec{g} = m_3\vec{a}_3, \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ T 1 + m 1 g = m 1 a 1 , T 2 + m 2 g = m 2 a 2 , T 2 + m 3 g = m 3 a 3 ,
где a i a_i a i i i i x x x
{ m 1 g − T 1 = m 1 a 1 , m 2 g − T 2 = m 2 a 2 , m 3 g − T 2 = m 3 a 3 . \begin{cases} m_1 g - T_1 = m_1 a_1, \\ m_2 g - T_2 = m_2 a_2, \\ m_3 g - T_2 = m_3 a_3. \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ m 1 g − T 1 = m 1 a 1 , m 2 g − T 2 = m 2 a 2 , m 3 g − T 2 = m 3 a 3 .
Нити нерастяжимы, поэтому их длины постоянны. Длина нижней нити равна
( x 2 − x б 2 ) + ( x 3 − x б 2 ) = l 2 , (x_2 - x_{б2}) + (x_3 - x_{б2}) = l_2, ( x 2 − x б 2 ) + ( x 3 − x б 2 ) = l 2 ,
где x б 2 x_{б2} x б 2 l 2 l_2 l 2
Δ ( x 2 − x б 2 ) + Δ ( x 3 − x б 2 ) = Δ l 2 . \Delta(x_2 - x_{б2}) + \Delta(x_3 - x_{б2}) = \Delta l_2 . Δ ( x 2 − x б 2 ) + Δ ( x 3 − x б 2 ) = Δ l 2 .
Возьмём производную по времени:
Δ x 2 − Δ x б 2 Δ t + Δ x 3 − Δ x б 2 Δ t = 0 ⇒ v 2 x − 2 v б 2 x + v 3 x = 0 , \frac{\Delta x_2 - \Delta x_{б2}}{\Delta t} + \frac{\Delta x_3 - \Delta x_{б2}}{\Delta t} = 0 \Rightarrow v_{2x} - 2v_{б2x} + v_{3x} = 0, Δ t Δ x 2 − Δ x б 2 + Δ t Δ x 3 − Δ x б 2 = 0 ⇒ v 2 x − 2 v б 2 x + v 3 x = 0 ,
где v v v
a 2 x − 2 a б 2 x + a 3 x = 0. a_{2x} - 2a_{б2x} + a_{3x} = 0. a 2 x − 2 a б 2 x + a 3 x = 0.
Теперь запишем длину нити, переброшенной через верхний блок:
( x 1 − x б 1 ) + ( x б 2 − x б 1 ) = l 1 , (x_1 - x_{б1}) + (x_{б2} - x_{б1}) = l_1, ( x 1 − x б 1 ) + ( x б 2 − x б 1 ) = l 1 ,
где x б 1 x_{б1} x б 1 l 1 l_1 l 1
Δ x 1 − Δ x б 1 + Δ x б 2 − Δ x б 1 = Δ l 1 . \Delta x_1 - \Delta x_{б1} + \Delta x_{б2} - \Delta x_{б1} = \Delta l_1. Δ x 1 − Δ x б 1 + Δ x б 2 − Δ x б 1 = Δ l 1 .
Координата верхнего блока постоянна, поэтому Δ x б 1 = 0 \Delta x_{б1} = 0 Δ x б 1 = 0 Δ l 1 = 0 \Delta l_1 = 0 Δ l 1 = 0
a 1 x + a б 2 x = 0. a_{1x} + a_{б2x} = 0. a 1 x + a б 2 x = 0.
Подставим это в предыдущее соотношение:
a 2 x + 2 a 1 x + a 3 x = 0. a_{2x} + 2a_{1x} + a_{3x} = 0. a 2 x + 2 a 1 x + a 3 x = 0.
Спроецировав на вертикальную ось, получим
a 2 = − 2 a 1 − a 3 . a_2 = -2a_1 - a_3. a 2 = − 2 a 1 − a 3 .
Подставим в уравнения для грузов 2 и 3:
{ m 2 g − T 2 = − 2 m 2 a 1 − m 2 a 3 , m 3 g − T 2 = m 3 a 3 . \begin{cases} m_2 g - T_2 = -2m_2 a_1 - m_2 a_3, \\ m_3 g - T_2 = m_3 a_3. \end{cases} { m 2 g − T 2 = − 2 m 2 a 1 − m 2 a 3 , m 3 g − T 2 = m 3 a 3 .
Сложим два последних уравнения с учётом m 2 = m 3 m_2 = m_3 m 2 = m 3
m 2 g − T 2 + m 3 g − T 2 = − 2 m 2 a 1 − m 2 a 3 + m 3 a 3 ⇒ g ( m 2 + m 3 ) − 2 T 2 = − 2 m 2 a 1 . m_2 g - T_2 + m_3 g - T_2 = -2m_2 a_1 - m_2 a_3 + m_3 a_3 \Rightarrow g(m_2 + m_3) - 2T_2 = -2m_2 a_1. m 2 g − T 2 + m 3 g − T 2 = − 2 m 2 a 1 − m 2 a 3 + m 3 a 3 ⇒ g ( m 2 + m 3 ) − 2 T 2 = − 2 m 2 a 1 .
Нижний блок невесом, поэтому по третьему закону Ньютона для него
T 1 = T 2 + T 2 = 2 T 2 . T_1 = T_2 + T_2 = 2T_2. T 1 = T 2 + T 2 = 2 T 2 .
Тогда получаем систему:
{ m 1 g − T 1 = m 1 a 1 , g ( m 2 + m 3 ) − T 1 = − 2 m 2 a 1 . \begin{cases} m_1 g - T_1 = m_1 a_1, \\ g(m_2 + m_3) - T_1 = -2m_2 a_1. \end{cases} { m 1 g − T 1 = m 1 a 1 , g ( m 2 + m 3 ) − T 1 = − 2 m 2 a 1 .
Домножим первое уравнение на 2 m 2 2m_2 2 m 2 m 1 m_1 m 1
{ 2 m 2 m 1 g − 2 m 2 T 1 = 2 m 2 m 1 a 1 , m 1 g ( m 2 + m 3 ) − m 1 T 1 = − 2 m 2 m 1 a 1 . \begin{cases} 2m_2 m_1 g - 2m_2 T_1 = 2m_2 m_1 a_1, \\ m_1 g(m_2 + m_3) - m_1 T_1 = -2m_2 m_1 a_1. \end{cases} { 2 m 2 m 1 g − 2 m 2 T 1 = 2 m 2 m 1 a 1 , m 1 g ( m 2 + m 3 ) − m 1 T 1 = − 2 m 2 m 1 a 1 .
Сложим уравнения:
2 m 2 m 1 g + m 1 m 2 g + m 1 m 3 g = T 1 ( 2 m 2 + m 1 ) , 2m_2 m_1 g + m_1 m_2 g + m_1 m_3 g = T_1(2m_2 + m_1), 2 m 2 m 1 g + m 1 m 2 g + m 1 m 3 g = T 1 ( 2 m 2 + m 1 ) ,
T 1 = 3 m 1 m 2 + m 1 m 3 m 1 + 2 m 2 g = 3 ⋅ 3 кг ⋅ 2 кг + 3 кг ⋅ 2 кг 3 кг + 2 ⋅ 2 кг ⋅ 10 Н/кг ≈ 34,3 Н . T_1 = \frac{3m_1 m_2 + m_1 m_3}{m_1 + 2m_2}\, g = \frac{3 \cdot 3\text{ кг} \cdot 2\text{ кг} + 3\text{ кг} \cdot 2\text{ кг}}{3\text{ кг} + 2 \cdot 2\text{ кг}} \cdot 10\text{ Н/кг} \approx 34{,}3\text{ Н}. T 1 = m 1 + 2 m 2 3 m 1 m 2 + m 1 m 3 g = 3 кг + 2 ⋅ 2 кг 3 ⋅ 3 кг ⋅ 2 кг + 3 кг ⋅ 2 кг ⋅ 10 Н / кг ≈ 34 , 3 Н .
