Тип 22 № 22929

Пусть $h$ — искомая высота, с которой бросают мяч, $H = 2{,}7$ м — высота отскока, $v_0 = 5$ м/с — начальная скорость, $\eta = 0{,}25$ — относительное уменьшение импульса при ударе.

Для движения вниз запишем закон сохранения механической энергии:

$$\frac{mu^2}{2} = mgh + \frac{mv_0^2}{2} \Rightarrow u^2 = 2gh + v_0^2,$$

где $u$ — скорость мяча непосредственно перед ударом. Отсюда

$$u = \sqrt{v_0^2 + 2gh}.$$

Импульс мяча равен $p = mu$. При ударе он уменьшается на долю $\eta$, поэтому скорость сразу после удара:

$$u_1 = u(1 - \eta).$$

Для движения вверх после удара снова применим закон сохранения энергии:

$$\frac{mu_1^2}{2} = mgH.$$

Подставим $u_1$:

$$\frac{m(1-\eta)^2 u^2}{2} = mgH \Rightarrow (1-\eta)^2 u^2 = 2gH \Rightarrow u^2 = \frac{2gH}{(1-\eta)^2}.$$

Приравняем два выражения для $u^2$ и найдём $h$:

$$v_0^2 + 2gh = \frac{2gH}{(1-\eta)^2} \Rightarrow 2gh = \frac{2gH}{(1-\eta)^2} - v_0^2 \Rightarrow h = \frac{H}{(1-\eta)^2} - \frac{v_0^2}{2g}.$$

Подставим числа:

$$h = \frac{2{,}7\text{ м}}{(1 - 0{,}25)^2} - \frac{\left(5\text{ м/с}\right)^2}{2 \cdot 10\text{ м/с}^2} = 3{,}55\text{ м}.$$