Тип 16 № 23464

Шаг 1. Находим ОДЗ.

Под логарифмом должно стоять положительное число:

$$24-x^2>0\iff x^2<24\iff -2\sqrt6<x<2\sqrt6.$$

(Здесь $\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt6$.)

Шаг 2. Приводим логарифмы к одному основанию 2.

Сначала разберёмся с записью: $\log^4_{\sqrt2}(\ldots)$ означает $\left(\log_{\sqrt2}(\ldots)\right)^4$ — логарифм возводится в четвёртую степень.

Используем формулу $\log_{a^k}b=\frac1k\log_ab$:

• $\sqrt2=2^{1/2}$, поэтому $\log_{\sqrt2}(24-x^2)=\frac{1}{1/2}\log_2(24-x^2)=2\log_2(24-x^2)$;
• $4=2^2$, поэтому $\log_4(24-x^2)=\frac12\log_2(24-x^2)$.

Шаг 3. Метод замены.

Обозначим $t=\log_2(24-x^2)$. Тогда $\log_{\sqrt2}(24-x^2)=2t$ и $\log_4(24-x^2)=\frac t2$. Неравенство становится алгебраическим:

$$(2t)^4-192\cdot\left(\frac t2\right)^2\ge64.$$

Считаем: $(2t)^4=16t^4$, а $192\cdot\frac{t^2}4=48t^2$:

$$16t^4-48t^2-64\ge0.$$

Делим на $16>0$ (знак не меняется):

$$t^4-3t^2-4\ge0.$$

Шаг 4. Решаем неравенство относительно $t$.

Это биквадратное неравенство. Пусть $s=t^2$: $s^2-3s-4$. По теореме Виета корни $s_1=4$, $s_2=-1$, поэтому

$$t^4-3t^2-4=(t^2-4)(t^2+1)\ge0.$$

Множитель $t^2+1$ всегда положителен (квадрат плюс единица), на знак не влияет. Остаётся

$$t^2-4\ge0\iff(t-2)(t+2)\ge0\iff t\le-2\ \text{или}\ t\ge2.$$

Шаг 5. Обратная замена.

Основание логарифма $2>1$, функция $\log_2$ возрастает, знак неравенства сохраняется.

Случай $t\ge2$:

$$\log_2(24-x^2)\ge2\iff24-x^2\ge2^2=4\iff x^2\le20\iff-2\sqrt5\le x\le2\sqrt5.$$

Случай $t\le-2$:

$$\log_2(24-x^2)\le-2\iff0<24-x^2\le2^{-2}=\frac14.$$

Обратите внимание: условие $24-x^2>0$ здесь нужно записать явно, иначе неравенство «$\le\frac14$» захватило бы и отрицательные значения, при которых логарифма не существует.

Решаем: $24-x^2\le\frac14\iff x^2\ge\frac{95}4$, и $x^2<24$. Значит,

$$\frac{\sqrt{95}}2\le|x|<2\sqrt6.$$

Шаг 6. Собираем ответ.

Сравним числа: $2\sqrt5=\sqrt{20}$, $\frac{\sqrt{95}}2=\sqrt{23{,}75}$, $2\sqrt6=\sqrt{24}$. Значит, $2\sqrt5<\frac{\sqrt{95}}2<2\sqrt6$, промежутки не пересекаются.

Ответ: $\left(-2\sqrt6;\,-\dfrac{\sqrt{95}}2\right]\cup\left[-2\sqrt5;\,2\sqrt5\right]\cup\left[\dfrac{\sqrt{95}}2;\,2\sqrt6\right)$.