Тип 16 № 23465

Шаг 1. Находим ОДЗ.

$$8-x^2>0\iff x^2<8\iff-2\sqrt2<x<2\sqrt2.$$

Шаг 2. Приводим логарифмы к основанию 5.

По формуле $\log_{a^k}b=\frac1k\log_ab$:

• $25=5^2$, поэтому $\log_{25}(8-x^2)=\frac12\log_5(8-x^2)$;
• $\sqrt5=5^{1/2}$, поэтому $\log_{\sqrt5}(8-x^2)=2\log_5(8-x^2)$.

Шаг 3. Метод замены.

Пусть $t=\log_5(8-x^2)$. Тогда $\log_{25}(\ldots)=\frac t2$, $\log_{\sqrt5}(\ldots)=2t$. Подставляем:

$$64\cdot\left(\frac t2\right)^4-5\cdot(2t)^2+16\le0.$$

Считаем: $\left(\frac t2\right)^4=\frac{t^4}{16}$, $64\cdot\frac{t^4}{16}=4t^4$; $(2t)^2=4t^2$, $5\cdot4t^2=20t^2$:

$$4t^4-20t^2+16\le0\iff t^4-5t^2+4\le0.$$

Шаг 4. Решаем относительно $t$.

Пусть $s=t^2$: $s^2-5s+4$, корни $s=1$ и $s=4$. Поэтому

$$t^4-5t^2+4=(t^2-1)(t^2-4)=(t-1)(t+1)(t-2)(t+2)\le0.$$

Метод интервалов для $t$: точки $-2$, $-1$, $1$, $2$ (все закрашенные). Справа знак «$+$», дальше чередуется:

• на $(2;+\infty)$ — «$+$»;
• на $(1;2)$ — «$-$»;
• на $(-1;1)$ — «$+$»;
• на $(-2;-1)$ — «$-$»;
• на $(-\infty;-2)$ — «$+$».

Значит, $-2\le t\le-1$ или $1\le t\le2$.

Шаг 5. Обратная замена. Основание $5>1$, знаки неравенств сохраняются.

Случай $1\le t\le2$:

$$5^1\le8-x^2\le5^2\iff5\le8-x^2\le25.$$

Левая часть: $8-x^2\ge5\iff x^2\le3$. Правая часть: $8-x^2\le25\iff x^2\ge-17$ — верно всегда. Итого $|x|\le\sqrt3$.

Случай $-2\le t\le-1$:

$$5^{-2}\le8-x^2\le5^{-1}\iff\frac1{25}\le8-x^2\le\frac15.$$

Переводим в десятичные: $\frac1{25}=0{,}04$, $\frac15=0{,}2$. Тогда $7{,}8\le x^2\le7{,}96$, т. е. $\sqrt{7{,}8}\le|x|\le\sqrt{7{,}96}$.

Шаг 6. Проверяем ОДЗ. Во всех найденных точках $x^2\le7{,}96<8$, так что ОДЗ выполнена.

Ответ: $\left[-\sqrt{7{,}96};\,-\sqrt{7{,}8}\right]\cup\left[-\sqrt3;\,\sqrt3\right]\cup\left[\sqrt{7{,}8};\,\sqrt{7{,}96}\right]$.