Тип 16 № 23466

Шаг 1. Находим ОДЗ.

• Под логарифмом: $2x-5>0\iff x>2{,}5$.
• Знаменатель не равен нулю (эти точки выколем позже).

Шаг 2. Метод рационализации: определяем знак числителя.

Обозначим $u=5-2x$. Числитель: $6^u-0{,}5^u$. Вынесем за скобки $0{,}5^u$:

$$6^u-0{,}5^u=0{,}5^u\left(\frac{6^u}{0{,}5^u}-1\right)=0{,}5^u\left(12^u-1\right),$$

так как $\frac{6}{0{,}5}=12$.

• $0{,}5^u>0$ при любом $u$ — показательная функция всегда положительна.
• $12^u-1=12^u-12^0$. Основание $12>1$, функция возрастает, поэтому $12^u-1$ имеет тот же знак, что и $u$.

Это и есть метод рационализации: $6^u-0{,}5^u\ \to\ u=5-2x$.

На ОДЗ $x>2{,}5$, значит $2x>5$ и $u=5-2x<0$. Следовательно, на всей ОДЗ числитель отрицателен.

Шаг 3. Упрощаем неравенство.

Дробь с отрицательным числителем неотрицательна только тогда, когда знаменатель отрицателен (минус на минус даёт плюс; равенство нулю невозможно, так как числитель не равен нулю):

$$1-\log^2_{0{,}04}(2x-5)<0\iff\log^2_{0{,}04}(2x-5)>1.$$

Шаг 4. Метод замены.

Пусть $t=\log_{0{,}04}(2x-5)$. Тогда $t^2>1\iff(t-1)(t+1)>0\iff t<-1$ или $t>1$.

Шаг 5. Обратная замена.

Важно: основание $0{,}04<1$, функция $\log_{0{,}04}$ убывает, поэтому при переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства меняется.

Случай $t>1$:

$$\log_{0{,}04}(2x-5)>\log_{0{,}04}0{,}04\iff0<2x-5<0{,}04\iff2{,}5<x<2{,}52.$$

$2{,}52=\frac{252}{100}=\frac{63}{25}$.

Случай $t<-1$:

$$\log_{0{,}04}(2x-5)<\log_{0{,}04}(0{,}04^{-1})\iff2x-5>0{,}04^{-1}=25\iff x>15.$$

Шаг 6. Оба промежутка лежат в ОДЗ ($x>2{,}5$), точки, где знаменатель равен нулю ($t=\pm1$), выколоты.

Ответ: $\left(2{,}5;\,\dfrac{63}{25}\right)\cup(15;\,+\infty)$.