Тип 16 № 23467

Шаг 1. Находим ОДЗ.

• Под логарифмом: $4-5x>0\iff x<0{,}8$.
• Знаменатель $6^{5x-4}-0{,}5^{5x-4}=0$ только при $5x-4=0$, т. е. $x=0{,}8$, — эта точка и так вне ОДЗ.

Шаг 2. Метод рационализации: знак знаменателя.

Обозначим $u=5x-4$. Вынесем $0{,}5^u$:

$$6^u-0{,}5^u=0{,}5^u\left(12^u-1\right).$$

$0{,}5^u>0$ всегда, а $12^u-1$ имеет тот же знак, что и $u$ (основание $12>1$). Значит, знаменатель имеет знак $u=5x-4$.

На ОДЗ $x<0{,}8$, т. е. $5x<4$ и $u<0$. Знаменатель всегда отрицателен.

Шаг 3. Упрощаем неравенство.

Дробь с отрицательным знаменателем $\le0$ тогда и только тогда, когда числитель $\ge0$:

$$\log^2_{0{,}25}(4-5x)-2{,}25\ge0.$$

Шаг 4. Метод замены.

Пусть $t=\log_{0{,}25}(4-5x)$. Тогда $t^2\ge2{,}25\iff(t-1{,}5)(t+1{,}5)\ge0\iff t\le-1{,}5$ или $t\ge1{,}5$.

Шаг 5. Обратная замена. Основание $0{,}25<1$, функция убывает, знак неравенства меняется.

Сначала вычислим нужные степени:

$$0{,}25^{1{,}5}=\left(\frac14\right)^{3/2}=\left(\frac12\right)^3=\frac18,\qquad0{,}25^{-1{,}5}=4^{1{,}5}=2^3=8.$$

Случай $t\ge1{,}5$:

$$0<4-5x\le\frac18\iff5x\ge4-\frac18=\frac{31}8\iff x\ge\frac{31}{40}.$$

Вместе с $x<0{,}8$: $\frac{31}{40}\le x<0{,}8$. (Проверка: $\frac{31}{40}=0{,}775<0{,}8$.)

Случай $t\le-1{,}5$:

$$4-5x\ge8\iff-5x\ge4\iff x\le-0{,}8.$$ Ответ: $(-\infty;\,-0{,}8]\cup\left[\dfrac{31}{40};\,0{,}8\right)$.