Тип 16 № 23468

Идея. Здесь логарифм внутри логарифма. Будем «снимать» их по одному, начиная с внешнего. Каждый раз смотрим на основание: если оно больше 1, знак неравенства сохраняется, если от 0 до 1 — меняется.

Шаг 1. Снимаем внешний логарифм.

Представим ноль как логарифм: $0=\log_{\sqrt3+1}1$. Неравенство:

$$\log_{\sqrt3+1}\left(\log_{\sqrt3-1}(2x-3)\right)\ge\log_{\sqrt3+1}1.$$

Основание $\sqrt3+1>1$, функция возрастает, знак сохраняется:

$$\log_{\sqrt3-1}(2x-3)\ge1.$$

Аргумент внешнего логарифма должен быть положителен: $\log_{\sqrt3-1}(2x-3)>0$. Но это выполняется автоматически: если выражение $\ge1$, то оно тем более $>0$.

Шаг 2. Снимаем внутренний логарифм.

Оценим основание: $\sqrt3\approx1{,}73$, поэтому $\sqrt3-1\approx0{,}73$ — меньше 1. Функция $\log_{\sqrt3-1}$ убывает, знак неравенства меняется.

Представим $1=\log_{\sqrt3-1}(\sqrt3-1)$:

$$\log_{\sqrt3-1}(2x-3)\ge\log_{\sqrt3-1}(\sqrt3-1)\iff0<2x-3\le\sqrt3-1.$$

Левое условие $2x-3>0$ — это требование, чтобы под логарифмом стояло положительное число.

Шаг 3. Решаем двойное неравенство.

Прибавляем $3$ ко всем частям: $3<2x\le\sqrt3+2$. Делим на $2$:

$$1{,}5<x\le1+\frac{\sqrt3}2.$$

Ответ: $\left(1{,}5;\,1+\dfrac{\sqrt3}2\right]$.