Тип 16 № 23469

Шаг 1. Снимаем внешний логарифм.

$0=\log_{\sqrt5+2}1$, основание $\sqrt5+2>1$ — знак сохраняется. Но здесь неравенство «$\le$», поэтому положительность аргумента внешнего логарифма сама не получится — её нужно дописать:

$$0<\log_{\sqrt5-2}(2-5x)\le1.$$

Шаг 2. Снимаем внутренний логарифм.

$\sqrt5\approx2{,}24$, значит $\sqrt5-2\approx0{,}24<1$. Функция убывает, знаки неравенства меняются.

Представим $0=\log_{\sqrt5-2}1$ и $1=\log_{\sqrt5-2}(\sqrt5-2)$:

$$\log_{\sqrt5-2}1<\log_{\sqrt5-2}(2-5x)\le\log_{\sqrt5-2}(\sqrt5-2).$$

Меняем знаки на противоположные и переходим к аргументам:

$$1>2-5x\ge\sqrt5-2,\quad\text{т. е.}\quad\sqrt5-2\le2-5x<1.$$

Так как $\sqrt5-2>0$, условие $2-5x>0$ уже выполнено автоматически.

Шаг 3. Решаем двойное неравенство.

Вычитаем $2$: $\sqrt5-4\le-5x<-1$. Делим на $-5$ — знаки меняются:

$$\frac15<x\le\frac{4-\sqrt5}5=0{,}8-\frac{\sqrt5}5.$$

Проверка: $0{,}8-\frac{\sqrt5}5\approx0{,}8-0{,}447=0{,}353>0{,}2$ — промежуток непустой.

Ответ: $\left(0{,}2;\,0{,}8-\dfrac{\sqrt5}5\right]$.