Тип 16 № 23470

ОДЗ: все действительные $x$ (показательные функции определены всюду).

Шаг 1. Метод замены.

В неравенстве встречаются степени двойки и степени тройки. Введём обозначения:

$$a=2^{x^2-2}>0,\qquad b=3^{x^2-1}>0.$$

Выразим остальные степени через $a$:

• $2^{x^2-3}=2^{x^2-2}\cdot2^{-1}=\frac a2$;
• $4^{x^2-2}=(2^2)^{x^2-2}=\left(2^{x^2-2}\right)^2=a^2$.

Неравенство:

$$\frac a2(b+4)<a^2+b.$$

Умножим на $2>0$ (знак не меняется) и раскроем скобки:

$$ab+4a<2a^2+2b\iff2a^2-4a+2b-ab>0.$$

Шаг 2. Метод группировки.

Цель — разложить левую часть на множители. Группируем первые два и последние два слагаемых:

$$2a^2-4a+2b-ab=2a(a-2)-b(a-2)=(a-2)(2a-b).$$

Неравенство:

$$(a-2)(2a-b)>0.$$

Шаг 3. Метод рационализации.

Заменяем каждый множитель на простой множитель с тем же знаком.

Множитель $a-2$: $a-2=2^{x^2-2}-2^1$. Функция $2^u$ возрастает, поэтому знак разности степеней с одинаковым основанием $>1$ совпадает со знаком разности показателей:

$$a-2\ \to\ (x^2-2)-1=x^2-3.$$

Множитель $2a-b$: $2a=2\cdot2^{x^2-2}=2^{x^2-1}$, поэтому $2a-b=2^{x^2-1}-3^{x^2-1}$. Обозначим $u=x^2-1$ и вынесем $3^u>0$:

$$2^u-3^u=3^u\left(\left(\tfrac23\right)^u-1\right).$$

Основание $\frac23<1$, функция убывает: $\left(\frac23\right)^u>1$ при $u<0$. Значит, $2a-b$ имеет знак, противоположный знаку $u$:

$$2a-b\ \to\ -(x^2-1).$$

Неравенство превращается в

$$(x^2-3)\cdot\left(-(x^2-1)\right)>0\iff(x^2-3)(x^2-1)<0.$$

Шаг 4. Метод интервалов.

$(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)(x-1)(x+1)<0$. Точки $-\sqrt3$, $-1$, $1$, $\sqrt3$ — все выколотые (неравенство строгое).

• на $(\sqrt3;+\infty)$ — «$+$»;
• на $(1;\sqrt3)$ — «$-$»;
• на $(-1;1)$ — «$+$»;
• на $(-\sqrt3;-1)$ — «$-$»;
• на $(-\infty;-\sqrt3)$ — «$+$».

Ответ: $(-\sqrt3;\,-1)\cup(1;\,\sqrt3)$.