Тип 16 № 23471

ОДЗ: все действительные $x$.

Шаг 1. Метод замены.

Введём обозначения: $a=2^{x^2-4}>0$, $b=5^{x^2-4}>0$. Выразим остальные степени через $a$:

• $2^{x^2-7}=2^{x^2-4}\cdot2^{-3}=\frac a8$;
• $4^{x^2-5{,}5}=2^{2x^2-11}=2^{2x^2-8}\cdot2^{-3}=\frac{\left(2^{x^2-4}\right)^2}{8}=\frac{a^2}8$.

Неравенство:

$$\frac a8(b+8)>\frac{a^2}8+b.$$

Умножим на $8>0$ и раскроем скобки:

$$ab+8a>a^2+8b\iff ab-a^2-8b+8a>0.$$

Шаг 2. Метод группировки.

$$ab-a^2-8b+8a=a(b-a)-8(b-a)=(b-a)(a-8).$$

Проверка: $a(b-a)=ab-a^2$, $-8(b-a)=-8b+8a$ — всё совпадает.

$$(b-a)(a-8)>0.$$

Шаг 3. Метод рационализации.

Множитель $b-a$: $b-a=5^u-2^u$, где $u=x^2-4$. Вынесем $2^u>0$: $2^u\left(\left(\frac52\right)^u-1\right)$. Основание $\frac52>1$, поэтому знак совпадает со знаком $u$:

$$b-a\ \to\ x^2-4.$$

Множитель $a-8$: $2^{x^2-4}-2^3$, основание $2>1$, знак совпадает со знаком разности показателей:

$$a-8\ \to\ (x^2-4)-3=x^2-7.$$

Получаем:

$$(x^2-4)(x^2-7)>0\iff(x-2)(x+2)(x-\sqrt7)(x+\sqrt7)>0.$$

Шаг 4. Метод интервалов.

Точки $-\sqrt7$, $-2$, $2$, $\sqrt7$ (выколотые, неравенство строгое). Справа «$+$», дальше чередуется:

• на $(\sqrt7;+\infty)$ — «$+$»;
• на $(2;\sqrt7)$ — «$-$»;
• на $(-2;2)$ — «$+$»;
• на $(-\sqrt7;-2)$ — «$-$»;
• на $(-\infty;-\sqrt7)$ — «$+$».

Ответ: $(-\infty;\,-\sqrt7)\cup(-2;\,2)\cup(\sqrt7;\,+\infty)$.