КПД механизмов

Любой механизм (рычаг, блок, наклонная плоскость, подъёмник) нужен для того, чтобы выполнить полезную работу: поднять груз, переместить тело. Но часть работы всегда тратится впустую: на трение, нагрев, подъём самих подвижных частей. Коэффициент полезного действия показывает, какая доля затраченной работы идёт на полезное дело.

Чему ты научишься

отличать полезную работу от затраченной и находить КПД механизма;
применять условие равновесия рычага и «золотое правило механики»;
считать КПД блоков и наклонной плоскости;
связывать КПД с мощностью и с потерями на трение.

1. Полезная и затраченная работа. КПД

Полезная работа $A_{\text{пол}}$ — работа, которую нужно было выполнить (например, подъём груза: $A_{\text{пол}} = mgh$ ).
Затраченная работа $A_{\text{затр}}$ — вся работа, совершённая силой, приложенной к механизму (например, $A_{\text{затр}} = Fs$ , где F — приложенная сила, s — путь точки её приложения).

Так как часть работы теряется, $A_{\text{пол}} < A_{\text{затр}}$ , и КПД всегда меньше 100%. У идеального механизма (без трения и невесомый) $A_{\text{пол}} = A_{\text{затр}}$ , $\eta = 100\%$ . По закону сохранения энергии потерянная работа превращается во внутреннюю энергию (нагрев).

График зависимости полезной работы от затраченной работы для идеального механизма с КПД 100 процентов и механизмов с КПД 80 и 50 процентов. Рис. 1. Полезная работа пропорциональна затраченной, наклон прямой равен КПД. Чем больше потери, тем ниже прямая.

2. Простые механизмы и «золотое правило механики»

Простые механизмы (рычаг, блок, наклонная плоскость) позволяют прикладывать меньшую силу, чем вес груза. Но существует фундаментальное ограничение:

Поэтому для идеального механизма можно записать:

$Fs = mgh$

где F — приложенная сила, s — путь точки её приложения, mg — вес груза, h — высота его подъёма.

Реальный механизм требует большей силы, и именно отношение идеальной силы к реальной даёт КПД:

$\eta = \frac{F_{\text{ид}}}{F}$

(при тех же h и s).

3. Рычаг

Рычаг — твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси. Момент силы $M = Fl$ , где l — плечо (кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы).

Условие равновесия рычага: сумма моментов, вращающих его в разные стороны, равна нулю:

$F_1l_1 = F_2l_2$

Схема рычага в равновесии с коротким плечом у груза, длинным плечом у приложенной силы и обозначением плеч l1 и l2. Рис. 2. Груз подвешен на коротком плече, сила приложена к длинному. Чем длиннее плечо $l_2$ , тем меньше нужна сила, но тем больший путь проходит точка её приложения.

Пример

Груз массой $m = 50$ кг ( $mg = 500$ Н) подняли на $h = 0,1$ м, приложив к длинному плечу рычага силу $F = 125$ Н. Точка приложения силы опустилась на $s = 0,5$ м.

Полезная работа:

$A_{\text{пол}} = mgh = 500 \cdot 0,1 = 50\ \text{Дж}$

Затраченная работа:

$A_{\text{затр}} = Fs = 125 \cdot 0,5 = 62,5\ \text{Дж}$

КПД:

$\eta = \frac{50}{62,5}\cdot 100\% = 80\%$

Для идеального рычага хватило бы:

$F = \frac{500 \cdot 0,1}{0,5} = 100\ \text{Н}$

4. Блоки

Неподвижный блок: $s = h$ , $A_{\text{пол}} = mgh$ , $A_{\text{затр}} = Fh$ ,

$\eta = \frac{mg}{F}$

Подвижный блок: $s = 2h$ , $A_{\text{пол}} = mgh$ , $A_{\text{затр}} = F \cdot 2h$ ,

$\eta = \frac{mg}{2F}$

Схемы неподвижного блока, меняющего направление силы, и подвижного блока, дающего выигрыш в силе в два раза, с обозначением груза, силы и перемещения. Рис. 3. Неподвижный блок выигрыша в силе не даёт. Подвижный даёт выигрыш в силе в 2 раза и проигрыш в пути в 2 раза: чтобы поднять груз на h, свободный конец верёвки нужно вытянуть на 2h.

5. Наклонная плоскость

Чтобы втащить груз на высоту h по наклонной плоскости длиной l, надо совершить работу $A_{\text{затр}} = Fl$ , где F — сила, направленная вдоль плоскости.

Полезная работа:

$A_{\text{пол}} = mgh$

Тогда:

$\eta = \frac{mgh}{Fl}\cdot 100\%$

Для идеальной плоскости (без трения):

$Fl = mgh$

то есть:

$F = mg\frac{h}{l} = mg\sin\alpha$

Чем положе плоскость, тем меньше сила и тем длиннее путь.

Схема груза на наклонной плоскости с обозначением длины плоскости l, высоты h, угла наклона альфа, силы тяги F и силы тяжести mg. Рис. 4. Груз втаскивают равномерно вдоль плоскости длиной l на высоту h силой F, направленной вдоль плоскости.

6. КПД и мощность. Цепочка механизмов

Если известны мощности, КПД можно находить так:

$\eta = \frac{P_{\text{пол}}}{P_{\text{затр}}}$

Для подъёма груза с постоянной скоростью:

$P_{\text{пол}} = mgv$

а $P_{\text{затр}}$ — мощность двигателя.

Если энергия передаётся последовательно через несколько механизмов, их КПД перемножаются:

$\eta = \eta_1 \cdot \eta_2 \cdot \ldots$

Например, при $\eta_1 = 0,9$ и $\eta_2 = 0,8$ общий КПД:

$0,9 \cdot 0,8 = 0,72 = 72\%$

7. Разбор заданий

Задача на КПД блока.

Груз массой 20 кг поднимают, действуя на свободный конец верёвки, перекинутой через подвижный блок, силой 125 Н. Найдите КПД блока.

Решение:

$\eta = \frac{mg}{2F} = \frac{200}{250} = 0,8 = 80\%$

Ответ: 80.

Задача на КПД наклонной плоскости.

Груз массой 50 кг втаскивают на высоту 2 м по доске длиной 5 м, действуя вдоль доски силой 250 Н. Найдите КПД.

Решение:

$\eta = \frac{mgh}{Fl} = \frac{1000}{1250} = 80\%$

Ответ: 80.

ЕГЭ: №5, выбор верных утверждений

Выберите все верные утверждения о простых механизмах.

Подвижный блок (идеальный) даёт выигрыш в силе в 2 раза.
Простые механизмы дают выигрыш в работе.
КПД реального механизма меньше 100%.
Неподвижный блок даёт выигрыш в силе.
Выигрыш в силе при использовании рычага сопровождается проигрышем в расстоянии.

Разбор.

Верны 1, 3 и 5.

Утверждение 2 неверно: выигрыша в работе не бывает.

Утверждение 4 неверно: неподвижный блок лишь меняет направление силы.

Ответ: 135.

ЕГЭ: №6, изменение величин

Груз равномерно втаскивают по наклонной плоскости. Поверхность плоскости смазали, и трение уменьшилось. Как изменятся при том же грузе и той же плоскости необходимая сила тяги и КПД плоскости?

увеличится;
уменьшится;
не изменится.

Разбор.

Полезная работа $mgh$ не меняется.

Сила тяги $F = mg\sin\alpha + F_{\text{тр}}$ уменьшается, поэтому $A_{\text{затр}} = Fl$ уменьшается и $\eta = A_{\text{пол}}/A_{\text{затр}}$ растёт.

Ответ: 21.

8. Типичные ошибки

Ошибка	Как правильно
Делят затраченную работу на полезную	$\eta = A_{\text{пол}}/A_{\text{затр}}$ , и он всегда $\leq 1$
Считают, что простой механизм даёт выигрыш в работе	выигрыш в силе сопровождается проигрышем в пути, работа не уменьшается
Забывают, что у подвижного блока $s = 2h$	затраченная работа $A_{\text{затр}} = F \cdot 2h$
Считают, что неподвижный блок даёт выигрыш в силе	он только меняет направление силы
Путают плечо силы с длиной рычага	плечо — кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы
Подставляют проценты в формулу как 80, а не 0,8	в формулах работы и мощности используют долю: $\eta = 0,8$
Считают КПД больше 100%	такой результат означает ошибку (перепутаны $A_{\text{пол}}$ и $A_{\text{затр}}$ )

9. Шпаргалка

Что найти	Формула	Комментарий
КПД	$\eta = \frac{A_{\text{пол}}}{A_{\text{затр}}}\cdot 100\%$	$\eta < 100\%$
КПД через мощность	$\eta = \frac{P_{\text{пол}}}{P_{\text{затр}}}$
Подъём груза (полезная работа)	$A_{\text{пол}} = mgh$
Затраченная работа	$A_{\text{затр}} = Fs$	s вдоль силы
Рычаг	$F_1l_1 = F_2l_2$	момент силы $M = Fl$
Неподвижный блок	$\eta = \frac{mg}{F}$	нет выигрыша в силе
Подвижный блок	$\eta = \frac{mg}{2F}$	$s = 2h$
Наклонная плоскость	$\eta = \frac{mgh}{Fl}$	идеальная: $F = mg\frac{h}{l}$
С трением по плоскости	$\eta = \frac{1}{1+\mu\operatorname{ctg}\alpha}$	сила вдоль плоскости
Цепочка механизмов	$\eta = \eta_1\eta_2\ldots$

10. Задачи для самопроверки

Двигатель совершил работу 5 кДж, подняв груз массой 40 кг на высоту 10 м. Найдите КПД.
Груз массой 50 кг подняли рычагом на высоту 0,1 м. К длинному плечу приложена сила 125 Н, она переместилась на 0,5 м. Найдите КПД рычага и силу, которая потребовалась бы в идеальном рычаге.
Груз массой 30 кг поднимают подвижным блоком, прикладывая силу 200 Н. Найдите КПД блока.
Груз массой 80 кг втаскивают на высоту 1 м по плоскости длиной 4 м силой 250 Н, направленной вдоль плоскости. Найдите КПД.
Двигатель крана мощностью 4 кВт поднимает груз массой 600 кг со скоростью 0,5 м/с. Найдите КПД установки.