Сила Архимеда

Почему стальной гвоздь тонет, а гигантский стальной корабль плавает? Почему в воде камень кажется легче? Ответ даёт закон Архимеда: на любое тело, погружённое в жидкость, действует выталкивающая сила. Чтобы её понять, достаточно знать, как давление зависит от глубины.

Где встречается в ЕГЭ. Гидростатика (давление жидкости, сила Архимеда, плавание тел) входит в линию статики, гидростатики, колебаний и волн: расчётная задача в задании №4. В заданиях №5 и №6 нужно анализировать условия плавания и читать графики. Гидростатика может встретиться и в расчётном задании №22.

Чему ты научишься

считать давление жидкости на глубине и объяснять, откуда берётся выталкивающая сила;
находить силу Архимеда и понимать, от чего она зависит, а от чего нет;
определять, тонет тело, плавает или всплывает, и какая часть плавающего тела погружена;
решать задачи на динамометр, нить и движение тела в жидкости.

1. Давление и давление жидкости

Здесь F — сила, перпендикулярная поверхности, S — площадь, ρ — плотность жидкости, h — глубина.

Важные свойства жидкости:

давление зависит только от плотности жидкости и глубины, но не от формы сосуда и количества жидкости;
на одной глубине давление во всех направлениях одинаково (закон Паскаля: давление, созданное на поверхность жидкости, передаётся во все её точки без изменения);
если над жидкостью есть давление p₀ (например, атмосферное), полное давление на глубине h равно $p = p_0 + \rho gh$ .

График зависимости давления воды от глубины с учётом и без учёта атмосферного давления. Рис. 1. Давление растёт с глубиной линейно: каждые 10 м воды добавляют $\rho gh = 1000 \cdot 10 \cdot 10 = 100$ кПа (примерно одну атмосферу). Наклон графика равен ρg.

2. Откуда берётся сила Архимеда

Рассмотрим кубик с площадью грани S, погружённый в жидкость плотностью ρж. Верхняя грань находится на глубине h₁, нижняя на h₂ > h₁. Давление растёт с глубиной, поэтому снизу жидкость давит на кубик сильнее, чем сверху: F₂ > F₁. Боковые силы взаимно уравновешиваются. Равнодействующая направлена вверх:

$F_A = F_2 - F_1$

$= \rho_ж gh_2S - \rho_ж gh_1S$

$= \rho_ж g(h_2-h_1)S = \rho_ж gV$

где $V = (h_2-h_1)S$ — объём кубика.

Схема кубика в жидкости с обозначением глубин верхней и нижней граней и сил давления. Рис. 2. Нижняя грань глубже верхней, поэтому давление на неё больше. Разность сил давления и есть сила Архимеда.

3. Закон Архимеда

Сила Архимеда зависит от	Сила Архимеда не зависит от
плотности жидкости ρж	плотности и массы тела
объёма погружённой части Vпогр	формы тела
ускорения свободного падения g	глубины, если тело погружено полностью

Вес тела в жидкости.

Если тело подвешено на динамометре и погружено в жидкость, показание динамометра:

$P = mg - F_A$

Сила тяжести частично уравновешена силой Архимеда.

Графики зависимости силы Архимеда от погружённого объёма и плотности жидкости, схема груза в воде. Рис. 3. Слева и в середине: сила Архимеда пропорциональна Vпогр и ρж (прямые через начало координат). Справа: груз высотой 20 см (сечение 50 см²) постепенно погружают в воду. Пока он входит в воду, FА растёт, а показание динамометра убывает; после полного погружения оба графика идут горизонтально.

4. Условия плавания тел

На погружённое тело действуют сила тяжести $mg = \rho_т gV$ (вниз) и сила Архимеда $F_A = \rho_ж gV_{\text{погр}}$ (вверх).

Сначала сравним силы в момент, когда тело полностью погружено ( $V_{\text{погр}} = V$ ): тогда всё определяется отношением плотностей.

Соотношение	Силы при Vпогр = V	Что происходит
$\rho_т > \rho_ж$	$mg > F_A$	тело тонет
$\rho_т = \rho_ж$	$mg = F_A$	тело находится в равновесии на любой глубине (взвешено)
$\rho_т < \rho_ж$	$mg < F_A$	тело всплывает; выйдя частично из жидкости, оно теряет часть Vпогр, сила FА уменьшается до mg, и тело плавает

Схемы тонущего, взвешенного, всплывающего и плавающего тела с обозначением силы тяжести и силы Архимеда. Рис. 4. Длина стрелок показывает соотношение сил: зелёная — сила Архимеда, красная — сила тяжести. У плавающего тела часть над водой, и $F_A = mg$ достигается при $V_{\text{погр}} < V$ .

Плавающее тело

У тела, которое уже плавает на поверхности, $V_{\text{погр}} < V$ , и сила Архимеда равна силе тяжести:

$\rho_ж gV_{\text{погр}} = \rho_т gV$

$\frac{V_{\text{погр}}}{V} = \frac{\rho_т}{\rho_ж}$

Доля погружённой части равна отношению плотностей: чем плотнее жидкость, тем меньше погружено тело. Сила Архимеда при этом равна mg, независимо от плотности жидкости.

Почему плавают корабли.

Стальной корабль имеет внутри полости с воздухом, поэтому его средняя плотность (масса корабля делённая на объём погружённой части) меньше плотности воды.

5. Как решать задачи

Определи, какая часть тела погружена, найди Vпогр (переведи в м³) и плотность жидкости ρж.
Нарисуй силы: тяжесть вниз, Архимеда вверх, а также натяжение нити или реакцию дна, если они есть.
Запиши второй закон Ньютона: для равновесия $\sum \vec{F} = 0$ , для движения $m\vec{a} = \sum \vec{F}$ .
Подставь $F_A = \rho_ж gV_{\text{погр}}$ и реши.

6. Разбор заданий в формате ЕГЭ

Задание типа №4.

Тело объёмом 0,002 м³ полностью погружено в воду. Найдите силу Архимеда. Плотность воды 1000 кг/м³.

Решение:

$F_A = \rho_ж gV = 1000 \cdot 10 \cdot 0,002 = 20\ \text{Н}$

Ответ: 20.

Задание типа №4.

Деревянный брусок массой 0,5 кг плавает на поверхности воды. Чему равна сила Архимеда?

Решение: при плавании $F_A = mg = 5$ Н.

Ответ: 5.

ЕГЭ: №5, выбор верных утверждений

Шар подвешен на нити и полностью погружён в воду, не касаясь дна сосуда. Выберите все верные утверждения.

Сила Архимеда, действующая на шар, направлена вверх.
Сила Архимеда по модулю равна весу воды, вытесненной шаром.
При погружении шара глубже сила Архимеда увеличивается.
Сила Архимеда зависит от плотности материала шара.
Если воду заменить керосином, сила Архимеда уменьшится.

Разбор.

Верны 1, 2 и 5.

Утверждение 3 неверно: у полностью погружённого тела сила Архимеда от глубины не зависит.

Утверждение 4 неверно: в формулу входят плотность жидкости и объём тела.

Керосин менее плотен, чем вода, поэтому утверждение 5 верно.

Ответ: 125.

ЕГЭ: №6, изменение величин

Деревянный брусок плавает в воде. Его перенесли в керосин, где он тоже плавает. Как изменятся сила Архимеда, действующая на брусок, и объём его погружённой части?

увеличится;
уменьшится;
не изменится.

Разбор.

В обоих случаях брусок плавает: $F_A = mg$ , сила Архимеда не изменяется.

Плотность керосина меньше, поэтому

$V_{\text{погр}} = \frac{m}{\rho_ж}$

растёт: объём погружённой части увеличивается.

Ответ: 31.

7. Типичные ошибки

Ошибка	Как правильно
Подставляют в формулу плотность тела	нужна плотность жидкости, в которую погружено тело
Берут весь объём тела, когда погружена только его часть	в формуле Vпогр — объём вытесненной жидкости
Считают, что сила Архимеда растёт с глубиной	при полном погружении она постоянна: она зависит от ρж и V, а не от h
Считают силу Архимеда всегда равной mg	равенство $F_A = mg$ верно только при плавании или равновесии
Не переводят единицы объёма и плотности	$1$ л = $1$ дм³ = $10^{-3}$ м³; $1$ см³ = $10^{-6}$ м³; $1$ г/см³ = $1000$ кг/м³
Думают, что тяжёлое тело всегда тонет	тонет тело с большей плотностью, а не с большей массой
Путают давление и силу давления	$p = F/S$ , $[p] = \text{Па}$ ; $F = pS$

8. Шпаргалка

Что найти	Формула	Комментарий
Давление	$p = \frac{F}{S}$	Па
Давление столба жидкости	$p = \rho gh$	с атмосферой: $p_0 + \rho gh$
Сила Архимеда	$F_A = \rho_ж gV_{\text{погр}}$	направлена вверх
Показание динамометра в жидкости	$P = mg - F_A$	тело полностью в жидкости
Плавающее тело	$F_A = mg$
Погружённая часть плавающего тела	$\frac{V_{\text{погр}}}{V} = \frac{\rho_т}{\rho_ж}$	$\rho_т < \rho_ж$
Ускорение тела в жидкости	$ma = F_A - mg$	вверх

Вещество	кг/м³	Вещество	кг/м³	Вещество	кг/м³
вода	1000	сосна (сухая)	400	железо	7800
керосин	800	алюминий	2700	ртуть	13 600
подсолнечное масло	900

Значения плотностей обычно даны в условии задачи или в справочных данных варианта.

9. Задачи для самопроверки

Найдите давление воды на глубине 5 м и силу давления на дно сосуда площадью 2 м² (без учёта атмосферного давления).
Тело объёмом 0,5 л полностью погружено в воду. Найдите силу Архимеда. Какой она станет в керосине?
Алюминиевый брусок массой 2,7 кг (плотность 2700 кг/м³) подвешен на динамометре и полностью погружён в воду. Каково показание динамометра?
Какая часть объёма деревянного бруска плотностью 600 кг/м³ погружена в воду, когда он плавает?
Тело плотностью 2000 кг/м³ отпустили под водой. С каким ускорением оно начнёт тонуть?