Механические колебания

Качели, маятник часов, груз на пружине, струна гитары, мост под ногами марширующих солдат — всё это колебания. Их объединяет повторяемость: тело раз за разом проходит одни и те же положения.

Колебания описываются небольшим набором величин и формул, и почти все задачи ЕГЭ по теме сводятся к чтению графика и подстановке в формулу.

Где встречается в ЕГЭ. Механические колебания проверяются расчётной задачей в линии статики, гидростатики, колебаний и волн (задание №4). В заданиях №5 и №6 нужно анализировать колебания пружинного и математического маятников и читать графики x(t), vx(t), ax(t) и энергий. Колебания могут встретиться и в расчётном задании №22.

Чему ты научишься

находить амплитуду, период, частоту и циклическую частоту по формуле и по графику;
связывать координату, скорость и ускорение при гармонических колебаниях;
считать период пружинного и математического маятников и определять, как он меняется;
разбираться в превращениях энергии, затухании, вынужденных колебаниях и резонансе.

1. Колебания и их характеристики

Механические колебания — движения, которые повторяются через равные промежутки времени и происходят около положения равновесия. Колебания бывают свободными (после однократного выведения из равновесия, под действием внутренних сил системы) и вынужденными (под действием периодической внешней силы).

Величина	Определение	Единица	Формула
Амплитуда A	максимальное отклонение от положения равновесия	м
Период T	время одного полного колебания	с	$T = \frac{t}{N}$
Частота ν	число колебаний в единицу времени	Гц	$\nu = \frac{1}{T} = \frac{N}{t}$
Циклическая частота ω	число колебаний за 2π секунд	рад/с	$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$

2. Гармонические колебания и график x(t)

Гармонические колебания — колебания, при которых координата изменяется по закону синуса или косинуса:

По формуле сразу видно всё нужное: в записи $x = 0,1\sin(2t)$ амплитуда $A = 0,1$ м, циклическая частота $\omega = 2$ рад/с, откуда $T = \frac{2\pi}{\omega} = \pi \approx 3,14$ с.

График зависимости координаты от времени при гармонических колебаниях, амплитуда 5 см, период 4 с.

Рис. 1. По графику: амплитуда $A = 5$ см (максимум x), период $T = 4$ с (расстояние между соседними максимумами), частота $\nu = 1/T = 0,25$ Гц, $\omega = 2\pi/T = \pi/2$ рад/с. Закон движения: $x = 5\cos(\pi/2 \cdot t)$ .

3. Скорость и ускорение при колебаниях

Для $x = A\cos\omega t$ скорость $v_x$ (производная координаты) и ускорение $a_x$ меняются по законам:

$v_x = -A\omega\sin\omega t$

$a_x = -A\omega^2\cos\omega t = -\omega^2x$

Отсюда:

максимальная скорость $v_{\max} = A\omega$ в положении равновесия ( $x = 0$ );
максимальное по модулю ускорение $a_{\max} = A\omega^2$ в крайних положениях ( $x = \pm A$ );
ускорение всегда направлено к положению равновесия: $a_x = -\omega^2x$ , оно пропорционально смещению;
график скорости сдвинут относительно графика координаты на четверть периода: когда x максимально, $v_x = 0$ .

Графики координаты, скорости и ускорения гармонических колебаний за один период.

Рис. 2. Один период колебаний с начальным положением $x = A$ . Скорость максимальна при прохождении равновесия, ускорение достигает максимума в крайних точках и противоположно по знаку смещению.

4. Пружинный и математический маятники

Схема пружинного маятника и математического маятника с обозначением параметров. Рис. 3. Положение равновесия отмечено нулём. У математического маятника угол альфа мал.

Выводы, которые нужны в №5 и №6:

период не зависит от амплитуды (при малых амплитудах);
период пружинного маятника зависит от m и k, но не от g;
период математического маятника зависит от l и g, но не зависит от массы груза;
в пружинном маятнике сила тяжести лишь сдвигает положение равновесия, период остаётся прежним (вертикальный и горизонтальный маятники колеблются с одним периодом).

Что изменили	Как изменится период
Массу груза пружинного маятника увеличили в 4 раза	период увеличится в 2 раза
Жёсткость пружины увеличили в 4 раза	период уменьшится в 2 раза
Длину математического маятника увеличили в 4 раза	период увеличится в 2 раза
Маятник перенесли на планету с меньшим g	период увеличится ( $T \sim 1/\sqrt{g}$ )
Увеличили амплитуду (малые углы) или массу груза математического маятника	период не изменится

График зависимости периода пружинного маятника от массы и квадрата периода математического маятника от длины. Рис. 4. Слева: период растёт как $\sqrt{m}$ . Справа: $T^2 = \frac{4\pi^2}{g}l$ — прямая, наклон которой даёт g (при $g = 10$ м/с² наклон ≈ 4 с²/м). Такие графики используют в лабораторных работах.

5. Энергия при колебаниях

Без трения полная механическая энергия колебаний сохраняется и превращается из потенциальной в кинетическую и обратно.

В крайних точках ( $x = \pm A$ , $v = 0$ ) вся энергия потенциальная: $E = \frac{kA^2}{2}$ .
В положении равновесия ( $x = 0$ ) вся энергия кинетическая: $E = \frac{mv_{\max}^2}{2}$ .
Энергия пропорциональна квадрату амплитуды: амплитуда вдвое больше ⇒ энергия в 4 раза больше.
Кинетическая и потенциальная энергии меняются с периодом $T/2$ , то есть вдвое чаще, чем координата.

Графики потенциальной, кинетической и полной энергии пружинного маятника. Рис. 5. Пружинный маятник, $k = 200$ Н/м, $A = 0,1$ м, $E = kA^2/2 = 1$ Дж. Слева: $Eп = kx^2/2$ — парабола, сумма постоянна. Справа: $Eк$ и $Eп$ колеблются с периодом $T/2$ , а их сумма постоянна.

6. Затухающие и вынужденные колебания, резонанс

В реальных системах есть трение и сопротивление: механическая энергия переходит во внутреннюю, и амплитуда свободных колебаний постепенно уменьшается — колебания затухают.

Если на систему действует периодическая внешняя (вынуждающая) сила, возникают вынужденные колебания. Они происходят с частотой вынуждающей силы, а их амплитуда после установления постоянна и зависит от этой частоты.

При совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой системы $\nu_0$ амплитуда резко возрастает: это резонанс.

График затухающих колебаний и график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты. Рис. 6. Слева: амплитуда затухающих колебаний убывает, период почти не меняется. Справа: амплитуда вынужденных колебаний максимальна при $\nu = \nu_0$ (резонанс). Чем сильнее трение, тем ниже и шире максимум.

7. Разбор заданий в формате ЕГЭ

Задание типа №4 (по графику).

По графику x(t) (рис. 1) найдите частоту колебаний.

Решение: период между соседними максимумами $T = 4$ с, частота $\nu = 1/T = 0,25$ Гц.

Ответ: 0,25.

Задание типа №4 (маятник).

Математический маятник длиной 2,5 м колеблется вблизи поверхности Земли. Найдите период.

Решение:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{0,25} = \pi \approx 3,14\ \text{с}$

ЕГЭ: №5, выбор верных утверждений

Груз колеблется на пружине без трения. Выберите все верные утверждения.

При прохождении положения равновесия кинетическая энергия груза максимальна.
Модуль ускорения груза максимален в положении равновесия.
Период колебаний не зависит от амплитуды.
При увеличении массы груза период колебаний уменьшается.
Полная механическая энергия груза остаётся постоянной.

Разбор.

Верны 1, 3 и 5.

Утверждение 2 неверно: ускорение максимально в крайних точках, в равновесии оно равно нулю.

Утверждение 4 неверно: $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ , с ростом массы период увеличивается.

Ответ: 135.

ЕГЭ: №6, изменение величин

Амплитуду свободных колебаний пружинного маятника увеличили (масса груза и жёсткость пружины остались прежними). Как изменятся период колебаний и максимальная скорость груза?

увеличится;
уменьшится;
не изменится.

Разбор.

Период от амплитуды не зависит, не изменится.

Максимальная скорость $v_{\max} = A\omega$ при неизменном $\omega$ растёт вместе с амплитудой, увеличится.

Ответ: 31.

8. Типичные ошибки

Ошибка	Как правильно
Принимают за амплитуду размах от минимума до максимума	A — максимальное отклонение от равновесия, то есть половина размаха
Путают частоту ν и циклическую частоту ω	$\omega = 2\pi\nu$ ; в $x = A\sin\omega t$ стоит именно ω
Считают, что период зависит от амплитуды	при малых амплитудах не зависит
Думают, что период математического маятника зависит от массы	$T = 2\pi\sqrt{l/g}$ : массы нет
Считают, что в положении равновесия ускорение максимально	в равновесии $a = 0$ , а скорость максимальна; ускорение максимально в крайних точках
Путают T и T/2 для энергии	$Eк$ и $Eп$ колеблются с периодом $T/2$
Считают путь за период равным нулю	за T перемещение равно нулю, а путь равен 4A

9. Шпаргалка

Что найти	Формула	Комментарий
Период, частота	$T = \frac{t}{N}$ , $\nu = \frac{1}{T}$	$[\nu] = \text{Гц}$
Циклическая частота	$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$	рад/с
Закон колебаний	$x = A\cos(\omega t + \varphi_0)$	или sin
Скорость, ускорение	$v_x = -A\omega\sin\omega t$ , $a_x = -\omega^2x$	$v_{\max} = A\omega$ , $a_{\max} = A\omega^2$
Период пружинного маятника	$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$	не зависит от g и A
Период математического маятника	$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$	не зависит от m и A
Энергия пружинного маятника	$E = \frac{kA^2}{2} = \frac{mv_{\max}^2}{2}$	$Eк + Eп = \text{const}$
Резонанс	$\nu_{\text{внеш}} = \nu_0$	максимум амплитуды
Путь за T / T/2 / T/4	4A / 2A / A	перемещение за T равно 0

10. Задачи для самопроверки

Тело совершает 20 колебаний за 10 с. Найдите период и частоту колебаний.
Амплитуда колебаний 4 см. Найдите путь и модуль перемещения тела за 2,5 периода, если оно начало движение из положения равновесия.
Координата тела меняется по закону $x = 0,1\sin(2t)$ (СИ). Найдите амплитуду, период, максимальную скорость и максимальное ускорение.
Математический маятник длиной 2,5 м колеблется с периодом T. Как изменится период, если длину увеличить до 10 м? $g = 10$ м/с².
Груз массой 0,5 кг колеблется на пружине жёсткостью 200 Н/м с амплитудой 0,1 м. Найдите полную энергию, максимальную скорость и период колебаний.

Ответы

$T = 0,5$ с; $\nu = 2$ Гц.
Путь $2,5 \cdot 4A = 10A = 40$ см; через $T/2$ тело снова в положении равновесия, поэтому перемещение равно нулю.
$A = 0,1$ м; $T = 2\pi/\omega = \pi \approx 3,14$ с; $v_{\max} = A\omega = 0,2$ м/с; $a_{\max} = A\omega^2 = 0,4$ м/с².
Длина выросла в 4 раза, период увеличится в 2 раза: с $\pi$ до $2\pi \approx 6,28$ с.
$E = \frac{kA^2}{2} = 1$ Дж; $v_{\max} = 2$ м/с; $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \cdot 0,05 = 0,1\pi \approx 0,31$ с.