Тип 24 № 19111

Согласно первому началу термодинамики, переданное газу тепло идет на изменение его внутренней энергии и на работу против внешних сил. $Q=\Delta U + A$. Для идеального одноатомного газа изменение внутренней энергии определяется только изменением его температуры: $\Delta U=\frac{3}{2} \nu R\Delta T$.

По условию температура обратно пропорциональна объёму: $T = \frac{k}{V}$, где $k = \text{const}$.

Из уравнения Менделеева — Клапейрона $pV = \nu RT$ выразим давление: $$p = \frac{\nu RT}{V}$$

Подставив выражение для $T$, получаем: $$p = \frac{\nu R \cdot \frac{k}{V}}{V} = \frac{\nu R k}{V^2}$$

Так как $\nu$, $R$ и $k$ постоянны, обозначим $\alpha^2 = \nu R k = \text{const}$: $$p = \frac{\alpha^2}{V^2} \implies V = \frac{\alpha}{\sqrt{p}}$$

Идеальный газ подчиняется уравнению Клапейрона — Менделеева:

$$pV=\nu RT \Rightarrow p\frac{\alpha}{\sqrt{p}}=\nu RT \Rightarrow \alpha\sqrt{p}=\nu RT,$$

Записав последнее выражение для начального и конечного состояний, после чего поделив одно на другое, получаем выражение для конечной температуры:

$$T_2=T_1\sqrt{\frac{p_2}{p_1}}=600\ \text{К}\cdot\sqrt{\frac{10^5\ \text{Па}}{4\cdot10^5\ \text{Па}}}=300\ \text{К}.$$

Таким образом, количество теплоты, которое газ отдал при расширении, равно:

$$Q'=-\Delta U-A=\frac{3}{2}\cdot 1 \cdot 8{,}31\ \text{Дж/(моль\(\cdot\)К)}\cdot(600\ \text{К}-300\ \text{К})- 2493\ \text{Дж}\approx 1247\ \text{Дж}.$$

Ответ: Q' $\approx 1247$ Дж.