Тип 24 № 21089

Обозначим через $H = 750\text{ мм рт. ст.} = 75\text{ см рт. ст.}$ атмосферное давление, а через $h$ — искомую длину столбика ртути.

В начальном горизонтальном положении сила тяжести столбика ртути направлена перпендикулярно оси трубки и уравновешивается реакцией стенок. Следовательно, ртуть не оказывает дополнительного давления вдоль трубки, и начальное давление запертого воздуха равно атмосферному: $$p_1 = p_0 = \rho g H$$ где $\rho$ — плотность ртути, $g$ — ускорение свободного падения. Начальная температура равна $T_1 = T = 300\text{ К}$, а занимаемый объём равен $V$.

После поворота вертикально запаянным концом вниз столбик ртути высотой $h$ своим весом давит на запертый воздух. Давление воздуха в новом состоянии складывается из атмосферного давления и гидростатического давления ртутного столба: $$p_2 = p_0 + \rho g h = \rho g (H + h)$$ Температура воздуха в конечном состоянии составляет $T_2 = T + \Delta T$.

Поскольку трубка запаяна, масса запертого воздуха неизменна ($\nu = \text{const}$). По условию конечный объём равен начальному: $V_2 = V_1 = V$. Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для обоих состояний: $$p_1 V = \nu R T_1$$ $$p_2 V = \nu R T_2$$ Разделив второе уравнение на первое, получаем связь давлений и температур: $$\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1} \implies \frac{\rho g (H + h)}{\rho g H} = \frac{T + \Delta T}{T}$$

$$1 + \frac{h}{H} = 1 + \frac{\Delta T}{T} \implies \frac{h}{H} = \frac{\Delta T}{T}$$

$$h = H \cdot \frac{\Delta T}{T}$$ Подставим исходные численные данные: $$h = 75\text{ см} \cdot \frac{60\text{ К}}{300\text{ К}} = 75 \cdot 0{,}2 = 15\text{ см}$$

Ответ: $15\text{ см}$