Задача с параметром

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\left|x + \frac{a^2}{x} + 1\right| + \left|x + \frac{a^2}{x} - 1\right| = 2$$ имеет хотя бы один корень.

Источник: Основная волна ЕГЭ-2018

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$x^2 + a^2 + x - 7a = |7x + a|$$ имеет более двух различных корней.

Источник: Основная волна ЕГЭ-2022

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\frac{|4x| - x - 3- a}{x^2 - x - a} = 0$$ имеет ровно два раличных решения.

Источник: Основная волна ЕГЭ-2020

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнениe $$a + \sqrt{6x - x^2 - 8} = 3 + \sqrt{1 + 2ax - a^2 - x^2}$$ имеет ровно один корень.

Источник: ЕГЭ 2020

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система $$\begin{cases} (xy -x + 7)(y - x + 7) = 0\\ y = 3x + a \end{cases}$$ имеет ровно 2 различных решения.

Источник: Основная волна ЕГЭ-2022

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$|2x^2 -3x - 2| = a - 2x^2 - 8x$$ либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.

Источник: Основная волна ЕГЭ-2022

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$\begin{cases} (xy^2 - xy - 6y + 6)\sqrt{y + 2} = 0\\ y = ax \end{cases}$$ имеет ровно $3$ различных решения.

Источник: Досрочная волна ЕГЭ-2016

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} (|x| - a^2)^2 + (y - 4a)(y + 4a) = 9a^2 - 2y -1 \\ y + 1 = 6\sqrt{a} \end{cases}$$ имеет ровно два различных решения.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2026, вариант 1.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система

$$\begin{cases} (|x| + a^2)^2 + (y - 4a)(y + 4a) = 4y - 4 \\ 0,5y - 1 = \sqrt{6a} \end{cases}$$ имеет ровно два различных решения.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2026, вариант 2.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{x^2 - a^2} = \sqrt{4x^2 - (4a + 1)x + a}$$ имеет один корень на отрезке $[0; 1]$.

Источник: ЕГЭ по математике 2024. Досрочная волна.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{x^4 - 16x^2 + 64a^2} = x^2 + 4x - 8a$$ имеет три различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\log_a(\sqrt{10 + 3a^{2\cos x}}) = 2\cos x$$ имеет хотя бы одно решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$(2x + a + 1 + \tg x)^2 = (2x + a - 1- \tg x)^2$$ имеет единственное решение на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$4^x + (a - 6)2^x = (2 + 3|a|)2^x + (a - 6)(3|a| + 2)$$ имеет единственное решение.

При каких значениях $a$ один из корней уравнения $$(a^2 + a + 1)x^2 + (2a - 3)x + a - 5 = 0$$ больше 1, а другой меньше 1?

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых все корни уравнения $$x^2 - 6ax + 10a^2 - a - 4 = 0$$ больше а

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых все корни уравнения $$ax^2 + (4 - 2a)x + 1 = 0$$ по модулю меньше 1?

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$a^2 - ax -2x^2 -6a + 3x +9|x| = 0$$ имеет ровно 4 различных решения.

Источник: ЕГЭ 2022. Основная волна. Краснодарский край.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\cos^4x - (a - 2)\cos^2x - 3(a + 1) = 0$$ имеет решение.

При каких значениях параметра $a$ уравнение $$2a(x + 1)^2 - |x + 1| + 1 = 0$$ имеет четыре различных корня?

Источник: ЕГЭ 2024. Основная волна.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$(4^x - 3\cdot2^x + 3a - a^2)\sqrt{2 - x} = 0$$ имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения а , при каждом из которых уравнение $$a^2 - 9x^2 + 18|x| - 9 = 0,$$ имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\bigl(3^{\cos x}-1\bigr)a^2-\bigl(3^{\cos x}+1\bigr)a-2\cdot3^{\cos x}=0$$

имеет хотя бы один корень.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\left(2^{\sin x} - 1\right)a^2 - \left(3 \cdot 2^{\sin x} - 1\right)a + 2^{\sin x + 1} = 0$$ имеет хотя бы один корень.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$2^x-a=\sqrt{4^x-3a}$$ имеет единственный корень.

Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $$(a^2+8a+16)\bigl(2-2\cos x-\sin^2 x\bigr)+(32+2a^2+16a)(\cos x-1)+3a+10=0$$ не имеет корней.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $$(4\cos x-3-a)\cdot \cos x-2.5\cos2x+1.5=0$$ имеет хотя бы один корень

Источник: ЕГЭ 2013

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$a\left(x - \frac{5}{x}\right)^2 + 4\left(x - \frac{5}{x}\right) -6a + 13 = 0$$ имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2025. Дальний Восток.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} \frac{(y^2-xy+3x-y-6)\sqrt{x+2}}{\sqrt{6-x}}=0\\ x+y-a=0 \end{cases}$$ имеет ровно два различных решения

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $$\begin{cases} \frac{xy^2-2xy-4y+8}{\sqrt{x+4}}=0\\ y=ax \end{cases}$$ Имеет ровно два различных решения.

Источник: ЕГЭ 2016. Досрочная волна.