Санкт-Петербург, Москва, Центр

а) Решите уравнение

$$\log_9\left(\sqrt{2}\sin x+\sin 2x+9\right)=1.$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

$$\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right].$$

Точка $M$ — середина ребра $AA_1$ треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, в основании которой лежит треугольник $ABC$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B$ и $B_1$ перпендикулярно прямой $C_1M$.

а) Докажите, что одна из диагоналей грани $ACC_1A_1$ равна одному из ребер этой грани.

б) Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$, если плоскость $\alpha$ делит ребро $AC$ в отношении $1:5$, считая от вершины $A$,

$$AC=20,\qquad AA_1=32.$$

Решите неравенство: $\frac{2^{x + 1} -17\cdot2^{2 - x}}{2^x - 2^{6 - x}} \geq 1$

15 января планируется взять кредит на несколько месяцев. Условия его возврата таковы:

-- 1-ого числа каждого месяца долг будет возрастать на $1\%$ по сравнению с концом предыдущего;

-- со 2-ого по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

-- 15-ого числа долг уменьшается на фиксированную величину;

-- кредит должен быть выплачен полностью.

Известно, что общая сумма платежей оказалась на $20\%$ больше взятой в кредит суммы. На сколько месяцев брали кредит?

Точка $D$ лежит на основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$. Точки $I$ и $J$ — центры окружностей, описанных около треугольников $ABD$ и $CBD$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $BI$ и $DJ$ параллельны.

б) Найдите $IJ$, если

$$AC=16,\qquad \cos\angle BDC=\frac19.$$

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{x^4 - 16x^2 + 64a^2} = x^2 + 4x - 8a$$ имеет три различных корня.

У ювелира есть 38 полудрагоценных камней, масса каждого из которых — целое число граммов, не меньшее 100 (некоторые камни могут иметь равную массу). Эти камни распределили по трем кучам: в первой куче $n_1$ камней, во второй — $n_2$ камней, в третьей — $n_3$ камней, причем

$$n_1<n_2<n_3.$$

Суммарная масса (в граммах) камней в первой куче равна $S_1$, во второй — $S_2$, а в третьей — $S_3$.

а) Может ли выполняться неравенство

$$S_1>S_2>S_3?$$

б) Может ли выполняться неравенство

$$S_1>S_2>S_3,$$ если масса любого камня не превосходит 108 граммов?

в) Известно, что масса любого камня не превосходит $k$ граммов. Найдите наименьшее целое значение $k$, для которого может выполняться неравенство

$$S_1>S_2>S_3.$$