МКТ — EXTREMUM

Молекулярно-кинетическая теория

Газ в баллоне, шарик на морозе, лужа, которая высыхает на солнце: всё это можно объяснить, если помнить, что вещество состоит из огромного числа частиц, которые непрерывно движутся и взаимодействуют. Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) связывает то, что мы измеряем (давление, объём, температуру), с тем, что происходит с отдельными молекулами. Поэтому из нескольких формул получаются ответы почти на все задачи по теме.

Где встречается в ЕГЭ. Молекулярная физика входит в линию «МКТ и термодинамика». Расчётное задание №7 проверяет связь температуры со средней кинетической энергией молекул, основное уравнение МКТ, уравнение Менделеева-Клапейрона и изопроцессы (в том числе по графикам). В задании №10 нужно выбрать верные утверждения о тепловом процессе, а в №9 определить, как изменяются величины, или установить соответствие между графиками и величинами. В части 2 молекулярная физика встречается в качественной задаче №21 и в расчётных №23 и №24.

Чему ты научишься

описывать строение газов, жидкостей и твёрдых тел, находить число молекул, количество вещества и массу молекулы;
применять основное уравнение МКТ и связь температуры со средней кинетической энергией молекул;
пользоваться уравнениями p = nkT и Менделеева-Клапейрона, законом Дальтона;
решать задачи на изопроцессы и читать графики в pV-, pT- и VT-координатах;
понимать, как ведут себя насыщенный пар и влажный воздух.

1. Основы МКТ и строение вещества

В основе теории лежат три положения. Они проверяются в ЕГЭ в виде качественных вопросов и входят в кодификатор.

Прямые доказательства движения молекул: диффузия (самопроизвольное перемешивание веществ, быстрее при нагревании) и броуновское движение (беспорядочное движение мелких видимых частиц в жидкости или газе под ударами молекул среды; интенсивнее при высокой температуре и для более мелких частиц).

Чтобы считать молекулы, вводят несколько величин.

Величина	Определение	Единица	Формула
Количество вещества ν	число частиц, делённое на число Авогадро	моль	$\nu = \frac{N}{N_A} = \frac{m}{\mu}$
Число Авогадро $N_A$	число частиц в одном моле вещества	моль⁻¹	$N_A \approx 6 \cdot 10^{23}$
Молярная масса μ	масса одного моля вещества	кг/моль	$\mu = m_0N_A$
Масса молекулы $m_0$	масса одной частицы	кг	$m_0 = \frac{\mu}{N_A} = \frac{m}{N}$
Концентрация n	число частиц в единице объёма	м⁻³	$n = \frac{N}{V}$

Состояние	Расстояния и взаимодействие	Характер движения	Форма и объём
Газ	много больше размеров молекул, взаимодействие слабое	свободное, почти прямолинейное между столкновениями	не сохраняет ни форму, ни объём
Жидкость	порядка размеров молекул, взаимодействие сильное	колебания около положения равновесия и редкие перескоки	сохраняет объём, не сохраняет форму
Твёрдое тело	порядка размеров молекул, взаимодействие сильное	колебания около положений равновесия (в кристалле: узлы решётки)	сохраняет форму и объём

Схематическое изображение расположения молекул в газе, жидкости и твёрдом теле. В газе молекулы находятся далеко друг от друга, в жидкости расположены близко и беспорядочно, в твёрдом теле образуют упорядоченную решётку. Рис. 1. Три состояния вещества. В газе молекулы далеко друг от друга и летят свободно, в жидкости расположены плотно, но беспорядочно, в твёрдом теле образуют упорядоченную решётку.

2. Идеальный газ и основное уравнение МКТ

Идеальный газ — модель разреженного газа. Молекулы считают материальными точками, которые не взаимодействуют друг с другом на расстоянии, а сталкиваются между собой и со стенками сосуда абсолютно упруго. Реальные газы при невысоких давлениях ведут себя почти так же, поэтому модель работает.

Откуда берётся давление? Каждая молекула при ударе о стенку передаёт ей небольшой импульс. Но ударов за секунду огромное число, и их средний эффект выглядит как постоянная сила, действующая на площадь стенки.

Упругий удар: проекция скорости на ось, перпендикулярную стенке, меняет знак, а значит, $\Delta p_x = -2m_0v_x$ . Стенка получает такой же импульс.

Схема упругого столкновения молекулы газа со стенкой. До удара и после удара скорости молекулы направлены противоположно по перпендикулярной к стенке оси. Изменение импульса молекулы равно минус двум произведениям массы молекулы на проекцию скорости. Рис. 2. Давление газа — результат ударов молекул о стенку. Чем чаще и сильнее удары, тем больше давление.

3. Температура

Температура — мера средней кинетической энергии теплового движения молекул. Если тела находятся в тепловом равновесии, их температуры одинаковы, а средние кинетические энергии молекул газов равны. Заметь, что температура есть только у системы из очень большого числа частиц, а у одной молекулы её нет.

Абсолютная температура (шкала Кельвина) отсчитывается от абсолютного нуля:

$T = t + 273\ \text{К}$

где t — температура в градусах Цельсия. Изменение температуры в кельвинах и в градусах одинаково: $\Delta T = \Delta t$ .

Температура и энергия молекул (кодификатор ЕГЭ)

$E_k = \frac{3}{2}kT$

$v_{\text{кв}} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}} = \sqrt{\frac{3RT}{\mu}}$

$k = 1,38 \cdot 10^{-23}\ \frac{\text{Дж}}{\text{К}}$

Из этих формул следуют выводы, которые нужны в №7, №10 и №9:

средняя кинетическая энергия молекул зависит только от T и одинакова у всех газов при одной температуре;
$v_{\text{кв}} \sim \sqrt{T}$ : при росте T в 4 раза скорость молекул растёт в 2 раза, а $E_k$ в 4 раза;
при одной температуре у более лёгких молекул скорость больше: $v_{\text{кв}} \sim \frac{1}{\sqrt{\mu}}$ .

Два графика. Слева средняя кинетическая энергия молекул растёт прямо пропорционально абсолютной температуре, при 300 К составляет около 6,2 на 10 в минус 21 Дж. Справа средняя квадратичная скорость молекул азота и водорода растёт пропорционально квадратному корню из температуры. Скорость молекул водорода выше скорости молекул азота. Рис. 3. Слева: $E_k$ растёт прямо пропорционально T (при 300 К энергия ≈ $6,2 \cdot 10^{-21}$ Дж). Справа: $v_{\text{кв}}$ растёт как $\sqrt{T}$ , причём у лёгкого водорода скорость молекул выше, чем у азота, при той же температуре.

4. Уравнение состояния идеального газа

Подставим $E_k = \frac{3}{2}kT$ в основное уравнение МКТ $p = \frac{2}{3}nE_k$ и получим $p = nkT$ . Умножив на объём и заменив $N = \nu N_A$ , получим уравнение Менделеева-Клапейрона.

Уравнение состояния (кодификатор ЕГЭ)

$p = nkT$

$pV = NkT$

$pV = \nu RT = \frac{m}{\mu}RT$

$R = kN_A \approx 8,31\ \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}$

Следствие для плотности газа:

$\rho = \frac{p\mu}{RT}$

Закон Дальтона.

Давление смеси разреженных газов равно сумме их парциальных давлений:

$p = p_1 + p_2 + \ldots$

Парциальное давление — давление, которое создавал бы данный газ, если бы один занимал весь сосуд при той же температуре.

Пример

При $n = 2,5 \cdot 10^{25}$ м⁻³ и T = 300 К давление:

$p = nkT$

$p = 2,5 \cdot 10^{25}\cdot 1,38 \cdot 10^{-23}\cdot 300 \approx 1,0 \cdot 10^5\ \text{Па}$

В сосуде объёмом 10 л находятся 2 моль газа при 300 К. Тогда:

$p = \frac{\nu RT}{V} = \frac{2\cdot 8,31\cdot 300}{0,01} \approx 5 \cdot 10^5\ \text{Па}$

Плотность воздуха ( $\mu = 0,029$ кг/моль) при $p = 10^5$ Па и T = 300 К:

$\rho = \frac{10^5\cdot 0,029}{8,31\cdot 300} \approx 1,16\ \text{кг/м}^3$

Смесь двух газов в одном сосуде создаёт давление 40 кПа и 60 кПа по отдельности. Давление смеси:

$p = 40 + 60 = 100\ \text{кПа}$

5. Изопроцессы

Изопроцесс — процесс в газе с постоянной массой (то есть N и ν не меняются), в котором неизменен один из параметров: температура, давление или объём.

Процесс	Постоянно	Закон	Название закона
Изотермический	T = const	$pV = const$ , $p_1V_1 = p_2V_2$	Бойля-Мариотта
Изобарный	p = const	$\frac{V}{T} = const$ , $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$	Гей-Люссака
Изохорный	V = const	$\frac{p}{T} = const$ , $\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$	Шарля
Любой при ν = const	все три параметра меняются	$\frac{pV}{T} = const$ , $\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}$	объединённый газовый закон

Три диаграммы изопроцессов. В координатах pV изотерма изображена гиперболой, изобара горизонтальной прямой, изохора вертикальной прямой. В координатах pT изохора — прямая через начало координат. В координатах VT изобара — прямая через начало координат. Цвета: синяя изотерма, красная изобара, зелёная изохора. Рис. 4. Изопроцессы в трёх системах координат: синий — изотерма, красный — изобара, зелёный — изохора. Продолжения прямых в pT и VT идут в начало координат (сама точка T = 0 недостижима, её показывает пунктир).

ЕГЭ: как читать графики изопроцессов

В pV-координатах изотерма — гипербола; чем дальше она от начала координат, тем выше температура ( $pV = \nu RT$ больше).
В pT-координатах изохора — прямая, продолжение которой проходит через начало координат. Чем круче прямая, тем меньше объём, так как $p = \frac{\nu R}{V}T$ .
В VT-координатах изобара — прямая через начало координат. Чем круче прямая, тем меньше давление.
Если на pT- или VT-диаграмме прямая не проходит через начало координат, то это уже не изохора или изобара.

Алгоритм

Выясни, что остаётся постоянным: масса газа (нет ли утечки или откачки) и один из параметров p, V, T.
Переведи температуры в кельвины. Для отношений давления и объёма единицы можно не менять, но только одинаковые в обоих состояниях.
Запиши нужный закон (или объединённый, если меняются все три величины) и найди неизвестную величину.
Проверь ответ по смыслу: при нагревании при p = const объём растёт, при сжатии при T = const давление растёт.

Пример

Изобара. Газ объёмом 2 л при 300 К нагрели при постоянном давлении до 450 К:

$V_2 = \frac{V_1T_2}{T_1} = 2\cdot \frac{450}{300} = 3\ \text{л}$

Изохора. Давление 100 кПа при 27 °C. После нагрева до 87 °C:

$p_2 = p_1\frac{T_2}{T_1} = 100\cdot \frac{360}{300} = 120\ \text{кПа}$

Изотерма. Газ при 100 кПа занимал 6 л. Его сжали до 2 л при той же температуре:

$p_2 = p_1\frac{V_1}{V_2} = 100\cdot \frac{6}{2} = 300\ \text{кПа}$

6. Насыщенный пар и влажность воздуха

Над поверхностью жидкости в закрытом сосуде идут два процесса: часть молекул вылетает из жидкости (испарение), часть возвращается в неё (конденсация). Когда эти потоки сравниваются, наступает динамическое равновесие, а пар называют насыщенным. Пар, который до этого состояния не дошёл, — ненасыщенный. Он ведёт себя почти как идеальный газ и подчиняется его законам.

Две диаграммы. Слева график изотермического сжатия пара: давление ненасыщенного пара растёт при уменьшении объёма, затем становится постоянным при насыщении. Справа график зависимости давления пара от температуры: пока жидкость присутствует, давление насыщенного пара растёт, после полного испарения пар становится ненасыщенным и давление растёт пропорционально температуре. Рис. 5. Слева: изотермическое сжатие пара. Сначала пар ненасыщенный и давление растёт как $p \sim 1/V$ , затем пар становится насыщенным и давление остаётся постоянным. Справа: нагревание закрытого сосуда с небольшим количеством жидкости. Пока жидкость есть, давление насыщенного пара растёт быстрее, чем по закону Шарля. После полного испарения пар становится ненасыщенным, и дальше $p \sim T$ (прямая через начало координат).

7. Разбор заданий в формате ЕГЭ

Задание типа №7.

Идеальный газ неизменной массы находится в закрытом сосуде. При температуре 27 °C давление газа равно 100 кПа. Каким станет давление при температуре 87 °C? Ответ дай в кПа.

Решение: объём не меняется, значит:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

Переводим:

$T_1 = 300\ \text{К},\quad T_2 = 360\ \text{К}$

Тогда:

$p_2 = 100\cdot \frac{360}{300} = 120\ \text{кПа}$

Ответ: 120.

Задание типа №7.

В сосуде находится 1 моль идеального газа при температуре 400 К. Объём сосуда 8,31 л. Найди давление газа. Ответ дай в кПа.

Решение:

$p = \frac{\nu RT}{V} = \frac{1\cdot 8,31\cdot 400}{8,31\cdot 10^{-3}} = 4\cdot 10^5\ \text{Па} = 400\ \text{кПа}$

Ответ: 400.

Задание типа №7.

Во сколько раз увеличится средняя квадратичная скорость молекул идеального газа при увеличении его абсолютной температуры в 4 раза?

Решение:

$v_{\text{кв}} \sim \sqrt{T}$

Поэтому скорость вырастет в $\sqrt{4} = 2$ раза.

Ответ: 2.

ЕГЭ: №10, выбор верных утверждений

Постоянное количество идеального газа нагревают в закрытом сосуде с жёсткими стенками. Выбери все верные утверждения.

Концентрация молекул газа не изменяется.
Давление газа прямо пропорционально его абсолютной температуре.
Средняя кинетическая энергия теплового движения молекул уменьшается.
Объём газа увеличивается.
Давление растёт, потому что молекулы чаще и сильнее ударяют о стенки.

Разбор.

Масса и объём постоянны, значит $n = N/V$ не меняется: утверждение 1 верно.

Из $p = nkT$ при n = const получаем $p \sim T$ : утверждение 2 верно.

Утверждение 3 неверно: $E_k = \frac{3}{2}kT$ при нагревании растёт.

Утверждение 4 неверно: у сосуда жёсткие стенки, объём постоянен.

Утверждение 5 верно: скорость молекул растёт, поэтому удары становятся и чаще, и сильнее.

Ответ: 125.

ЕГЭ: №9, изменение величин

Идеальный газ неизменной массы в цилиндре под поршнем медленно сжимают при постоянной температуре. Как изменяются при этом давление газа и средняя кинетическая энергия теплового движения его молекул?

увеличивается;
уменьшается;
не изменяется.

Разбор.

При T = const выполняется $pV = const$ : объём уменьшается, давление увеличивается (концентрация растёт, и $p = nkT$ растёт вместе с ней).

Средняя кинетическая энергия $E_k = \frac{3}{2}kT$ зависит только от температуры, а она постоянна, поэтому не изменяется.

Ответ: 13.

8. Типичные ошибки

Ошибка	Как правильно
Подставляют температуру в градусах Цельсия	в формулы газовых законов входит только $T = t + 273$ (в кельвинах)
Считают, что нагрев с 20 °C до 40 °C увеличил T вдвое	T выросла с 293 К до 313 К, то есть примерно на 7%
Не переводят единицы в $pV = \nu RT$	литры в м³, кПа в Па, граммы в кг, г/моль в кг/моль
Путают k и R	k для одной молекулы: $pV = NkT$ ; R для моля: $pV = \nu RT$ ; $R = kN_A$
Путают энергию и скорость молекул	$E_k \sim T$ и не зависит от рода газа, а $v_{\text{кв}} \sim \sqrt{T/\mu}$ зависит от молярной массы
Применяют закон изопроцесса при утечке газа	закон верен только при постоянной массе газа ( $\nu = const$ )
Считают, что насыщенный пар подчиняется закону Шарля и Бойля-Мариотта	$p_{\text{нас}}$ зависит только от T и не зависит от объёма; масса пара при этом меняется
Путают концентрацию n и плотность ρ	$\rho = m_0n$ ; n показывает число молекул в м³, а ρ — массу вещества в м³
Усредняют давления газов в смеси	по закону Дальтона парциальные давления складываются

9. Шпаргалка

Что найти	Формула	Комментарий
Количество вещества	$\nu = \frac{N}{N_A} = \frac{m}{\mu}$	моль
Масса молекулы	$m_0 = \frac{\mu}{N_A}$	кг
Концентрация	$n = \frac{N}{V}$	м⁻³
Основное уравнение МКТ	$p = \frac{1}{3}nm_0\overline{v^2} = \frac{2}{3}nE_k$	связь p с $E_k$
Абсолютная температура	$T = t + 273$	кельвины
Энергия молекул	$E_k = \frac{3}{2}kT$	не зависит от рода газа
Скорость молекул	$v_{\text{кв}} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}} = \sqrt{\frac{3RT}{\mu}}$	$\sim \sqrt{T/\mu}$
Давление газа	$p = nkT$	$n = N/V$
Уравнение Менделеева-Клапейрона	$pV = \nu RT = \frac{m}{\mu}RT$	СИ
Плотность газа	$\rho = \frac{p\mu}{RT}$
Закон Дальтона	$p = p_1 + p_2 + \ldots$	смесь газов
Изотерма / изобара / изохора	$pV = const$ ; $\frac{V}{T} = const$ ; $\frac{p}{T} = const$	$\nu = const$
Объединённый газовый закон	$\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}$	$\nu = const$
Относительная влажность	$\varphi = \frac{p}{p_{\text{нас}}}\cdot 100\%$	$p_{\text{нас}}$ зависит только от T

Справочные данные: $N_A = 6 \cdot 10^{23}$ моль⁻¹, $k = 1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К, $R = 8,31$ Дж/(моль·К).

10. Задачи для самопроверки

Сколько молекул содержится в 36 г воды и какова масса одной молекулы? Молярная масса воды 18 г/моль.
Найди среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул идеального газа при 27 °C и давление газа, если концентрация молекул $2 \cdot 10^{25}$ м⁻³.
Какой объём занимают 2 моль идеального газа при давлении 200 кПа и температуре 27 °C?
Газ в цилиндре под поршнем занимал 3 л при 27 °C и давлении 100 кПа. Его нагрели до 127 °C, и давление стало 200 кПа. Найди новый объём газа. Масса газа не менялась.
Относительная влажность воздуха равна 40% при температуре, при которой давление насыщенного пара 2,5 кПа. Найди давление водяного пара. Какой станет влажность, если при той же температуре объём воздуха изотермически уменьшить вдвое без конденсации?

Ответы

Количество вещества:

$\nu = 2\ \text{моль}$

Число молекул:

$N = \nu N_A = 1,2 \cdot 10^{24}$

Масса одной молекулы:

$m_0 = \frac{\mu}{N_A} = 3 \cdot 10^{-26}\ \text{кг}$

Средняя кинетическая энергия:

$E_k = \frac{3}{2}kT = \frac{3}{2}\cdot 1,38 \cdot 10^{-23}\cdot 300 \approx 6,2 \cdot 10^{-21}\ \text{Дж}$

Давление:

$p = nkT = 2 \cdot 10^{25}\cdot 1,38 \cdot 10^{-23}\cdot 300 \approx 83\ \text{кПа}$

Объём:

$V = \frac{\nu RT}{p} = \frac{2\cdot 8,31\cdot 300}{2\cdot 10^5} \approx 0,025\ \text{м}^3 = 25\ \text{л}$

По объединённому газовому закону:

$\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}$

Откуда:

$V_2 = \frac{p_1V_1T_2}{T_1p_2}$

$V_2 = \frac{100\cdot 3\cdot 400}{300\cdot 200} = 2\ \text{л}$

Парциальное давление водяного пара:

$p = \varphi p_{\text{нас}} = 0,4\cdot 2,5 = 1\ \text{кПа}$

После сжатия вдвое:

$p' = 2\ \text{кПа}$

Относительная влажность:

$\varphi' = \frac{2}{2,5}\cdot 100\% = 80\%$

Молекулярно-кинетическая теория

Чему ты научишься

1. Основы МКТ и строение вещества

2. Идеальный газ и основное уравнение МКТ

3. Температура

4. Уравнение состояния идеального газа

5. Изопроцессы

Алгоритм

6. Насыщенный пар и влажность воздуха

7. Разбор заданий в формате ЕГЭ

8. Типичные ошибки

9. Шпаргалка

10. Задачи для самопроверки

Читайте также

Ускорение свободного падения

КПД механизмов

Сила Архимеда