Ускорение свободного падения

Камень, брошенный вверх, мяч, упавший со стола, струя воды из шланга, снаряд, выпущенный из пушки: если пренебречь сопротивлением воздуха, все эти тела движутся с одним и тем же ускорением. Это ускорение свободного падения g, и оно связывает кинематику, динамику и закон всемирного тяготения.

Где встречается в ЕГЭ. Свободное падение входит в линию кинематики: расчётная задача и графики в задании №1. Сила тяжести и закон всемирного тяготения проверяются в задании №2. В заданиях №5 и №6 нужно анализировать движение брошенных тел и читать графики y(t), vy(t). Свободное падение и бросок под углом могут встретиться и в расчётных заданиях №22 и №26.

Чему ты научишься

пользоваться формулами свободного падения и броска вертикально вверх, находить высоту, время и скорость;
раскладывать движение при горизонтальном броске и броске под углом на горизонтальное и вертикальное;
читать графики y(t) и vy(t) и правильно расставлять знаки проекций;
понимать, от чего зависит g и как он меняется с высотой и на других планетах.

1. Что такое свободное падение и g

Свободное падение — движение тела только под действием силы тяжести. Ускорение при этом называют ускорением свободного падения g.

g направлено вертикально вниз и одинаково для всех тел, независимо от массы: тяжёлый камень и лёгкое перо падали бы одинаково, если бы не сопротивление воздуха;
в условиях ЕГЭ, если не сказано иное, принимают g = 10 м/с² (точнее 9,8 м/с²);
движение происходит с постоянным ускорением, поэтому справедливы формулы равноускоренного движения с a = g.

Почему все тела падают одинаково: по второму закону Ньютона ma = mg, масса сокращается, и остаётся a = g.

2. Падение без начальной скорости

Свободное падение с высоты h из состояния покоя.

Графики зависимости скорости от времени и пройденного пути от времени при свободном падении с ускорением g равным 10 м/с². За 1, 2, 3 и 4 секунды путь составляет 5, 20, 45 и 80 метров Рис. 1. Скорость растёт линейно (наклон графика равен g = 10 м/с²), путь — по параболе. Точки отмечают путь за 1, 2, 3, 4 с: 5, 20, 45, 80 м.

3. Бросок вертикально вверх

Направим ось y вверх. Тогда проекция ускорения ay = −g во всех точках траектории.

Графики координаты и вертикальной скорости при броске вверх со скоростью 20 м/с. Время подъёма 2 секунды, максимальная высота 20 метров, полное время полёта 4 секунды. В верхней точке скорость равна нулю, ускорение направлено вниз. Рис. 2. Бросок вверх со скоростью v₀ = 20 м/с. Подъём длится 2 с, максимальная высота 20 м, возвращение через 4 с. Наклон графика vy(t) постоянен и равен −g = −10 м/с² на всём участке, в том числе в верхней точке.

Что нужно помнить:

в верхней точке скорость равна нулю, а ускорение по-прежнему g (не нуль!);
время подъёма равно времени спуска до той же высоты;
на одной высоте скорости при подъёме и спуске равны по модулю и противоположны по направлению; при возвращении в точку броска скорость равна −v₀;
площадь под графиком vy(t) даёт перемещение; путь за всё время полёта 2hmax, а перемещение до возвращения равно нулю.

4. Горизонтальный бросок и бросок под углом

Главная идея: движения по горизонтали и по вертикали независимы. По горизонтали на тело ничего не действует (сопротивлением пренебрегаем), поэтому движение равномерное. По вертикали тело движется с ускорением g.

Горизонтальный бросок

Тело брошено горизонтально со скоростью v₀ с высоты h.

Схема горизонтального броска тела с высоты h. Горизонтальная составляющая скорости vx равна начальной скорости v0 и остаётся постоянной, вертикальная составляющая vy увеличивается с ускорением g. Траектория тела — парабола, дальность полёта обозначена L. Рис. 3. Горизонтальный бросок: горизонтальная составляющая скорости не меняется, вертикальная растёт линейно. Полная скорость v направлена по касательной к параболе.

Бросок под углом к горизонту

Начальную скорость v₀ раскладывают на составляющие:

$v_{0x} = v_0\cos\alpha$

$v_{0y} = v_0\sin\alpha$

Дальше работают по оси x (равномерное движение) и по оси y (бросок вверх).

График параболических траекторий броска при начальной скорости 20 м/с и углах 30, 45 и 60 градусов. Дальность одинакова для углов 30 и 60 градусов и максимальна при угле 45 градусов. Высота подъёма увеличивается с углом. Рис. 4. Траектории при одной начальной скорости 20 м/с. Дальность L = v₀² sin 2α / g одинакова для углов 30° и 60° (дополняющих друг друга до 90°) и максимальна при 45°; высота подъёма H = v₀² sin² α / 2g растёт с углом (5, 10 и 15 м).

В верхней точке скорость не нуль, а равна v₀x = 15 м/с (горизонтальна), а ускорение по-прежнему равно g.

5. Откуда берётся g: связь с тяготением

У поверхности планеты сила тяжести mg равна силе всемирного тяготения.

Масса падающего тела сокращается, поэтому g зависит от планеты и расстояния до её центра, но не от тела.

Что изменили	Как изменится g
радиус планеты увеличили в 2 раза (M прежняя)	уменьшится в 4 раза
массу планеты увеличили в 2 раза (R прежний)	увеличится в 2 раза
поднялись на высоту h = R (расстояние до центра 2R)	уменьшится в 4 раза
M в 8 раз больше и R в 2 раза больше	увеличится в 8/4 = 2 раза

Невесомость. Космонавты на орбите находятся в невесомости не потому, что сила тяжести там отсутствует (на высоте орбиты g почти такой же, как у поверхности), а потому, что корабль и всё в нём падают с одним и тем же ускорением, и тела не давят друг на друга.

Вес:

$P = m(g-a) = 0$

при a = g.

График зависимости ускорения свободного падения gh от относительной высоты h/R. У поверхности значение равно g0, на высоте h = R оно уменьшается до g0/4, на высоте h = 2R — до g0/9. Рис. 5. С ростом высоты g убывает как 1/(R + h)². У поверхности Земли (h ≪ R) изменение незначительно, поэтому в школьных задачах считают g постоянным.

6. Разбор заданий в формате ЕГЭ

Задание типа №1.

Тело свободно падает с высоты 45 м без начальной скорости. Найдите время падения.

Решение:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{9} = 3\ \text{с}$

Ответ: 3.

Задание типа №1 (бросок вверх).

Камень бросили вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Найдите максимальную высоту подъёма.

Решение:

$h = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{400}{20} = 20\ \text{м}$

Ответ: 20.

ЕГЭ: №5, выбор верных утверждений

Камень брошен вертикально вверх, сопротивлением воздуха можно пренебречь. Выберите все верные утверждения.

В верхней точке траектории скорость камня равна нулю.
В верхней точке траектории ускорение камня равно нулю.
Модуль ускорения камня при подъёме и спуске один и тот же.
Время подъёма до верхней точки равно времени спуска из неё в точку броска.
При возвращении в точку броска скорость камня больше начальной по модулю.

Разбор.

Верны 1, 3 и 4.

Утверждение 2 неверно: ускорение всё время равно g.

Утверждение 5 неверно: при возвращении в точку броска модуль скорости такой же, как в начале.

Ответ: 134.

ЕГЭ: №6, изменение величин

Мяч бросают горизонтально с некоторой высоты. Высоту броска увеличили, начальную скорость оставили прежней. Как изменятся время полёта мяча и дальность его полёта?

увеличится;
уменьшится;
не изменится.

Разбор.

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Время падения растёт вместе с высотой.

Дальность:

$L = v_0t$

При прежней v₀ дальность тоже растёт.

Ответ: 11.

7. Типичные ошибки

Ошибка	Как правильно
Считают, что в верхней точке броска вверх ускорение равно нулю	в верхней точке v = 0, но a = g (направлено вниз)
Считают, что тяжёлые тела падают быстрее	без сопротивления ускорение не зависит от массы; в воздухе различие создаёт сопротивление
Берут g = 9,8 там, где принято g = 10	в условиях ЕГЭ используют g = 10 м/с², если не указано другое
Путают знаки проекций	выбери ось (обычно вверх) и последовательно пиши ay = −g, v₀y > 0 при броске вверх
Считают, что время горизонтального броска зависит от v₀	t = √(2h/g) зависит только от высоты
В верхней точке броска под углом считают скорость нулевой	там vy = 0, но vx = v₀ cos α ≠ 0
Забывают, что g зависит от высоты и планеты	g = GM/R²; на другой планете или на большой высоте значение другое

8. Шпаргалка

Что найти	Формула	Комментарий
Падение с высоты h из покоя	$v = gt$ , $h = \frac{gt^2}{2}$ , $v^2 = 2gh$	g = 10 м/с²
Время падения	$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$
Бросок вверх (ось вверх)	$v_y = v_0 - gt$ , $y = v_0t - \frac{gt^2}{2}$	ay = −g
Высота и время подъёма	$H = \frac{v_0^2}{2g}$ , $t = \frac{v_0}{g}$	время полёта 2v₀/g
Горизонтальный бросок	$x = v_0t$ , $y = \frac{gt^2}{2}$	$L = v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}$
Бросок под углом	$v_{0x} = v_0\cos\alpha$ , $v_{0y} = v_0\sin\alpha$	$L = \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}$
Ускорение свободного падения	$g = \frac{GM}{R^2}$ , $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$	зависит от планеты, высоты
Сила тяжести	$F = mg$	вниз

9. Задачи для самопроверки

Тело падает без начальной скорости с высоты 80 м. Найдите время падения и скорость в момент удара о землю.
Мяч брошен вертикально вверх со скоростью 15 м/с. Найдите максимальную высоту подъёма и время полёта до возвращения в точку броска.
Тело брошено горизонтально со скоростью 12 м/с с высоты 45 м. Найдите время падения и дальность полёта.
Камень брошен с земли с составляющими скорости v₀x = 8 м/с и v₀y = 12 м/с. Найдите время полёта, максимальную высоту и дальность.
На какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения в 4 раза меньше, чем у поверхности? Радиус Земли обозначьте R.

Ответы

Время падения:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = 4\ \text{с}$

Скорость:

$v = gt = 40\ \text{м/с}$

Максимальная высота:

$h = \frac{v_0^2}{2g} = 11,25\ \text{м}$

Время полёта:

$t = \frac{2v_0}{g} = 3\ \text{с}$

Время падения:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 45}{10}} = 3\ \text{с}$

Дальность:

$L = 12 \cdot 3 = 36\ \text{м}$

Время полёта:

$t = \frac{2v_{0y}}{g} = 2,4\ \text{с}$

Максимальная высота:

$H = \frac{v_{0y}^2}{2g} = 7,2\ \text{м}$

Дальность:

$L = v_{0x}t = 19,2\ \text{м}$

Ускорение свободного падения на высоте h:

$g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$

При условии:

$g_h = \frac{g}{4}$

получаем:

$\frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{GM}{4R^2}$

Откуда:

$R+h = 2R$

$h = R \approx 6400\ \text{км}$