Стереометрическая задача

Длины рёбер $AB$, $AA_1$ и $AD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны соответственно $12$, $16$ и $15$.

a) Докажите, что объём пирамиды $A_1BDC_1$ втрое меньше объёма параллелепипеда.

б) Найдите расстояние от вершины $A_1$ до прямой $BD_1$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны рёбра $$AB = 8,\qquad AD = 7,\qquad AA_1 = 5.$$ Точка $W$ принадлежит ребру $DD_1$ и делит его в отношении $1:4$, считая от вершины $D$.

a) Докажите, что сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $C$, $W$ и $A_1$, — параллелограмм.

б) Найдите площадь этого сечения.

Точка $M$ лежит на ребре $AB$ треугольной пирамиды $ABCD$, причем $AM:MB=1:2.$

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $M$ и середины ребер $BC$ и $AD$.

б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро $CD$?

Дана четырёхугольная пирамида $SABCD$, в основании которой лежит прямоугольник $ABCD$. Основанием высоты пирамиды является точка пересечения диагоналей основания. Известно, что $AB=2\sqrt{3}$, $BC=2\sqrt{6}$. Из точек $A$ и $C$ опущены перпендикуляры $AP$ и $CQ$ на ребро $SB$.

а) Докажите, что $P$ — середина $BQ$.

б) Найдите угол между гранями $SBA$ и $SBC$, если $AS=6$.

Основанием прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Прямые $CA_1$ и $AB_1$ перпендикулярны.

NOOOOON a) Докажите, что $AA_1 = AC$.

б) Найдите расстояние между прямыми $CA_1$ и $AB_1$, если $AC = 6,\; BC = 3$.

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ с вершиной $S$ точка $M$ — середина $SD$, точка $K$ — середина $SA$.

а) Докажите, что прямые $BK$ и $CM$ лежат в одной плоскости $\alpha$.

б) Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания пирамиды равен $60^\circ$ и $AB=6$.

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток

Дана прямая призма $ABC A_1B_1C_1$. Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$. На отрезке $AB$ отмечена точка $P$ так, что $AP:PB=3:1$. Точка $Q$ делит пополам ребро $B_1C_1$. Точка $M$ делит пополам ребро $BC$. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная $PQ$.

a) Доказать, что прямая $AB$ параллельна плоскости $\alpha$.

б) Найти отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, если $AA_1=5$, $AB=12$ и $\cos\angle ABC=\tfrac{3}{5}$.

Дана четырехугольная пирамида $SABCD$, в основании которой лежит ромб $ABCD$ со стороной $10$. Известно, что $SA = SC = 10\sqrt{2}$, $SB = 20$ и $AC = 10$.

а) Докажите, что ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания пирамиды $SABCD$.

б) Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $SB$.

Дан тетраэдр ABCD, на ребрах AC, AD, BD, BC отмечены точки K, L, M, N соответственно так, что $AK:KC = 2:3$, а KLMN — квадрат.

а) Доказать, что $AB:CD=2:3$.

б) Найти объем пирамиды $CKMN$, если объем тетраэдра $ABCD$ равен 25.

Дана правильная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На рёбрах $CD$, $CC_1$ и $A_1B_1$ отметили точки $K$, $L$ и $M$ соответственно. Известно, что
$A_1M = MB_1$, $DK = 2KC$, а четырёхугольник $AKLM$ — равнобедренная трапеция.

а) Докажите, что $CL = 2LC_1$.

б) Найдите объём призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если $AA_1 = 7$.

Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точки $M$ и $K$ — середины его ребер $AB$ и $BC$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точку $B$ параллельно прямым $A_1M$ и $B_1K$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через точку $D$.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью $\alpha$, если его ребра равны 2.

Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точки $M$ и $K$ — середины его ребер $AB$ и $BC$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точку $B$ параллельно прямым $A_1M$ и $B_1K$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через точку $D$.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью $\alpha$, если его ребра равны 3.

Основанием прямой четырёхугольной призмы $ABCDA1B1C1D1$ является ромб $ABCD$ , $AB=AA1$.

а) Докажите, что прямые $A1C$ и $BD$ перпендикулярны.

б) Найдите объём призмы, если $A1C=BD=2$.

Точка $O$ — центр грани $A1B1C1D1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Сечения параллелепипеда плоскостями $AOB$ и $BOC$ являются прямоугольниками, стороны $AB$ и $BC$ этих сечений в 3 раза меньше соответственных больших сторон сечений.

а)  Докажите, что $ABCD$  — квадрат.

б)  Найдите угол между прямой $A_1C$ и плоскостью $BOC$.

Точка $O$ — центр грани $A1B1C1D1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Сечения параллелепипеда плоскостями $AOB$ и $BOC$ являются прямоугольниками, стороны $AB$ и $BC$ этих сечений в 2 раза меньше соответственных больших сторон сечений.

а) Докажите, что $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите угол между прямой $A_1C$ и плоскостью $BOC$.

Точка $O$ — центр грани $A1B1C1D1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Сечения параллелепипеда плоскостями $AOB$ и $BOC$ являются прямоугольниками, стороны $AB$ и $BC$ этих сечений в 3 раза меньше соответственных больших сторон сечений.

а) Докажите, что $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите угол между прямой $A_1C$ и плоскостью $BOC$.

Дана правильная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На рёбрах $CD$, $CC_1$ и $A_1B_1$ отметили точки $K$, $L$ и $M$ соответственно. Известно, что
$A_1M = MB_1$, $DK = 3KC$, а четырёхугольник $AKLM$ — равнобедренная трапеция.

а)]Докажите, что $CL = LC_1$.

б)Найдите объём призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если $AA_1 = 5$.

В правильной треугольной призме сторона $AB$ основания равна 2, точка $M$— середина ребра $CC1$.

а) Докажите, что сечение $A1MB$ — равнобедренный треугольник.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения равна 6.

В правильной треугольной призме сторона $AB$ основания равна 4, точка $M$— середина ребра $CC1$.

а) Докажите, что сечение $A1MB$ — равнобедренный треугольник.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения равна 18.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки M и K на ребрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $2AM = MA_1, A_1K = KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно плоскости $ABB_1$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.

б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все ребра призмы равны 20.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известно, что $ AB = 4$. Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $\alpha$.

a) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B$ и $D$.

б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребро $SC$, считая от вершины $S$, если площадь сечения равна $2\sqrt{14}$?

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известно, что $AB = 1$. Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $\alpha$.

a) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B$ и $D$.

б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребро $SC$, считая от вершины $S$, если площадь сечения равна $\frac{\sqrt{2}}{3}$?

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известно, что $AB = 2$. Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $\alpha$.

a) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B$ и $D$.

б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребро $SC$, считая от вершины $S$, если площадь сечения равна $\sqrt3$?