Москва

а) Решите уравнение: $\log_3\left(\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin 2x + 81\right) = 4$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$

Дан тетраэдр ABCD, на ребрах AC, AD, BD, BC отмечены точки K, L, M, N соответственно так, что $AK:KC = 2:3$, а KLMN — квадрат со стороной 2.

а) Доказать, что $BM:MD=2:3$.

б) Найти расстояние от точки $C$ до плоскости $(KLM)$, если известно, что объём тетраэдра $ABCD$ равен $25$.

Решите неравенство $\frac{4^x + 2^{x+1} - 36}{2^x - 5} + \frac{4^{x+1} - 2^{x+5} + 4}{2^x - 8} \leq 5 \cdot 2^x + 7.$

В июле 2023 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

−каждый январь долг увеличивается на 25%\ по сравнению с концом предыдущего года;

−с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года), и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 65 500 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Точка $B$ лежит на отрезке $AC$. Прямая, проходящая через точку $A$, касается окружности с диаметром $BC$ в точке $M$ и второй раз пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $K$. Продолжение отрезка $MB$ пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $D$.

а) Докажите, что прямые $AD$ и $MC$ параллельны.

б) Найдите площадь треугольника $DBC$, если $AK = 5$ и $MK = 25$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{1 - 2x}\cdot\ln(25x^2 - a^2) = \sqrt{1 - 2x}\cdot\ln(5x - a)$$ имеет ровно один корень.

Дано натуральное число. Из него либо вычитают утроенную сумму цифр, либо прибавляют утроенную сумму цифр, при этом полученное число должно быть натуральным.

а) Могло ли из числа 128 получиться число 29?

б) Могло ли из числа 128 получиться число 31?

в) Какое наименьшее число можно получить из 128?