Задачи с прикладным содержанием

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора получена экспериментально: $T = T_0 + bt + at^2$, где $t$ - время в минутах, $T_0 = 1600 \, \text{K}$, $a = -5 \, \text{K}/\text{мин}^2$, $b = 105 \, \text{K}/\text{мин}$. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1870 K прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Через сколько минут после начала работы нужно отключить прибор?

Источник: БАНК ФИПИ.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону $$H(t) = at^2 + bt + H_0$$ где:

• $H$ — высота столба воды в метрах,
• $H_0 = 3 \, \text{м}$ — начальный уровень воды,
• $a = \frac{1}{768} \, \text{м/мин}^2$ и $b = -\frac{1}{8} \, \text{м/мин}$ — постоянные,
• $t$ — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана.

В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Источник: БАНК ФИПИ.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\varphi = \omega t + \frac{\beta t^2}{2}$, где $t$ — время в минутах, $\omega = 15^\circ/\text{мин}$ — начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta = 6^\circ/\text{мин}^2$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки $\varphi$ достиг 2250°. Ответ дайте в минутах.

Источник: БАНК ФИПИ.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t) = 1{,}6 + 13t - 5t^2$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 6 метров?

Источник: БАНК ФИПИ.

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0 = 24\, \text{м/с}$, начал торможение с постоянным ускорением $a = 3\, \text{м/с}^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь $S = v_0t - \frac{at^2}{2}$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 90 метров. Ответ дайте в секундах.

Источник: ЕГЭ 2024. Основная волна.

Мотоцикл, движущийся по городу со скоростью $v_0 = 60\, \text{км/ч}$, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 18\, \text{км/ч}^2$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$, где $t$ — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 21 км. Ответ дайте в минутах.

Источник: Банк ФИПИ

Зависимость объема спроса $q$ (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены $p$ (тыс. руб.) задается формулой $q = 120 - 10p$. Выручка предприятия за месяц $r$ (тыс. руб.) вычисляется по формуле $r(p) = q \cdot p$. Определите наибольшую цену $p$, при которой месячная выручка $r(p)$ составит 320 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Источник: Банк ФИПИ

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону: $$H(t) = at^2 + bt + H_0$$ где:

• $H_0 = 8\, \text{м}$ — начальный уровень воды,
• $a = \frac{1}{98}\, \text{м/мин}^2$,
• $b = -\frac{4}{7}\, \text{м/мин}$,
• $t$ — время в минутах.

Определите, в течение какого времени вода будет вытекать из бака.

Источник: Банк ФИПИ

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры от времени работы: $T _0 + bt + at^2$, где t  — время в минутах, $T_0 = 1300\text{K}$, $a = -20$ $\text{K}/\text{мин}^2$, $b = 20$K/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1800$К$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Источник: Банк ФИПИ

В боковой стенке цилиндрического бака у дна закреплён кран. Высота воды изменяется по закону: $$H(t) = at^2 + bt + H_0$$ где:

• $H_0 = 3\, \text{м}$,
• $a = \frac{1}{588}\, \text{м/мин}^2$,
• $b = -\frac{1}{7}\, \text{м/мин}$.

Найдите время полного вытекания воды.

Источник: Банк ФИПИ

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону: $$H(t) = at^2 + bt + H_0$$ где:

• $H_0 = 6,25\, \text{м}$ — начальный уровень воды,
• $a = \frac{1}{81}\, \text{м/мин}^2$,
• $b = -\frac{5}{9}\, \text{м/мин}$,
• $t$ — время в минутах.

Определите, в течение какого времени вода будет вытекать из бака.

Источник: БАНК ФИПИ

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры от времени работы: $T _0 + bt + at^2$, где t  — время в минутах, $T_0 = 1450\text{K}$, $a = -30$ $\text{K}/\text{мин}^2$, $b = 180$K/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1600$К$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Источник: БАНК ФИПИ

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры от времени работы: $T _0 + bt + at^2$, где t  — время в минутах, $T_0 = 1300\text{K}$, $a = -\frac{14}{3}$ $\text{K}/\text{мин}^2$, $b = 98$K/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1720 $К$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Источник: БАНК ФИПИ

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону: $$h(t) = 2 + 12t - 5t^2$$ где:

• $h$ — высота в метрах,
• $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска.

Определите, сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 6 метров.

Источник: БАНК ФИПИ

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч². Скорость вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,8 километра, приобрести скорость 100 км/ч. Ответ выразите в км/ч².

Источник: РЕШУ ЕГЭ

Автомобиль массой $m$ кг начинает тормозить и проходит до полной остановки путь $S$ м. Сила трения $F$ (в Н), масса автомобиля $m$ (в кг), время $t$ (в с) и пройденный путь $S$ (в м) связаны соотношением $$F = \frac{2mS}{t^{2}}.$$ Определите, сколько секунд заняло торможение, если известно, что сила трения равна $2000\,\text{Н}$, масса автомобиля — $1500$ кг, путь — $600$ м.

Источник: Банк ФИПИ

Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте $h$ м над землёй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле $$l = \sqrt{\frac{R h}{500}},$$ где $R = 6400 \text{ км}$ — радиус Земли. Человек, стоящий на холме, видит горизонт на расстоянии $8$ км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до $11{,}2$ километров?

Источник: РЕШУ ЕГЭ

Наблюдатель находится на высоте h, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле $$l = \sqrt{\frac{R h}{500}},$$ где $R = 6400$ км  — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 4 километров? Ответ выразите в метрах.

Источник: Банк ФИПИ

Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте $h$ м над землёй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле $$l = \sqrt{\frac{R h}{500}},$$ где $R = 6400 \text{ км}$ — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии $3{,}2$ км. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту $15$ см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее $6{,}4$ километров?

Источник: Пробный ЕГЭ Санкт-Петербург, 2017.

Наблюдатель находится на высоте h, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле $$l = \sqrt{\frac{Rh}{500}},$$ где $R = 6400$ км — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 8 километров? Ответ выразите в метрах.

Источник: РЕШУ ЕГЭ

Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте $h$ м над землёй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле $$l = \sqrt{\frac{R h}{500}},$$ где $R = 6400 \text{ км}$ — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии $4,8$ км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до $6{,}4$ километров?

Источник: БАНК ФИПИ

Груз массой $0{,}08$ кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону: $$v = v_0 \sin\frac{2\pi t}{T}$$ где $t$ - время с момента начала колебаний, $T = 12$ с - период колебаний, $v_0 = 0{,}5$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле: $$E = \frac{mv^2}{2}$$ Найдите кинетическую энергию груза через 1 секунд после начала колебаний.

Источник: БАНК ФИПИ.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f = 30\, \text{см}$. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана - в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}$. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Источник: ЕГЭ  2017. Основная волна .2017.

К источнику с ЭДС  $= 60$ В и внутренним сопротивлением $r = 0.8$ Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтся формулой $$U = \frac{\epsilon R}{R + r}$$

При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 55 В? Ответ выразите в омах.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч². Скорость вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,8 километра, приобрести скорость 120 км/ч. Ответ выразите в км/ч².

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 30 \, \text{см}$. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от 150 см до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение

$$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}.$$

На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Источник: БАНК ФИПИ.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0 = 170 \, \text{Гц}$ и определяется следующим выражением: $$f = f_0 \cdot \frac{c + u}{c - v},$$ где:

• $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с)
• $u = 2 \, \text{м/с}$ — скорость приёмника относительно среды
• $v = 17 \, \text{м/с}$ — скорость источника относительно среды

Определите максимальную скорость $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде, при которой частота сигнала в приёмнике $f$ будет не менее $180 \, \text{Гц}$.

Два тела массой $m=2$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $v=10$ м/с под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, определяется выражением

$$Q=mv^2\sin^2\alpha.$$ Под каким наименьшим углом $2\alpha$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате столкновения выделилось не менее $50$ Дж?

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой

$$\eta=\frac{T_1-T_2}{T_1}\cdot 100\%,$$ где $T_1$ — температура нагревателя (в градусах Кельвина), $T_2$ — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя $T_1$ КПД этого двигателя будет не меньше $15\%$, если температура холодильника $T_2=340$ K? Ответ выразите в градусах Кельвина.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы:

$$T(t)=T_0+bt+at^2,$$ где $t$ — время (в мин.), $T_0=680$ К, $a=-16$ К/мин$^2$, $b=224$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1400 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить.

Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.