Задачи с прикладным содержанием

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону

$$\varphi=\omega t+\frac{\beta t^2}{2},$$ где $t$ — время в минутах, $\omega=40^\circ/\text{мин}$ — начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta=4^\circ/\text{мин}^2$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки $\varphi$ достигнет $3000^\circ$. Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U=U_0\sin(\omega t+\varphi)$, где $t$ — время в секундах, амплитуда $U_0=2$ В, частота $\omega=150\,\pi$ с, фаза $\varphi=45^\circ$. Датчик настроен так что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, то загорится лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Груз массой 0,15 кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $v=v_0\cos\frac{2\pi t}{T}$, где $t$ — время с момента начала колебаний, $T=2\ \text{с}$ — период колебаний, $v_0=0,4\ \text{м/с}$. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле

$$E=\frac{mv^2}{2},$$ где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 12 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене p = 400 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют υ = 200 руб., постоянные расходы предприятия f = 600 000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле g(q) = q(p − υ) − f. Определите месячный объём производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 900 000 руб.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0=57\ \text{км/ч}$, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a=12\ \text{км/ч}^2$. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением $S=v_0t+\frac{at^2}{2}$, где $t$ — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в $30\ \text{км}$ от города. Ответьте в минутах.

Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене p  =  600 руб. за единицу, переменные текущие затраты на производство одной единицы продукции составляют ν = 400 руб., постоянные расходы предприятия f  =  600 000 руб. в месяц. Месячная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле π(q)  =  q(p − ν) − f, где q (единиц продукции)  — месячный объём производства. Определите значение q, при котором месячная прибыль предприятия будет равна 500 000 руб.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a=0{,}4\ \text{м/с}^2$. Скорость $v$ вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь в м. Найдите, сколько метров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $30\ \text{м/с}$.

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C=5\cdot 10^{-6}$ Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R=7\cdot 10^6$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0=36$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением

$$t=\alpha RC\log_2\frac{U_0}{U}\ (с),$$ где $\alpha=0{,}8$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 84 с. Ответ дайте в киловольтах.

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 2$ моль воздуха при давлении $p_1 = 1,5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = a\nu T \log_2 \frac{p_2}{p_1}$, где $a = 5,75 \,Дж/(моль$\cdot$К)$ — постоянная, $T = 300 \, \text{K}$ — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 6900Дж.

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 5$ моль воздуха при давлении $p_1 = 1,1$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = a\nu T \log_2 \frac{p_2}{p_1}$, где $a = 11{,}5 \, \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}$ — постоянная, $T = 300 \, \text{K}$ — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 34500Дж.