Планиметрическая задача

В остроугольном треугольнике $ABC$ , $\angle A = 60^\circ$. Высоты $BN$ и $CM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точка $O$— центр окружности, описанной около $\Delta ABC$.

а) Докажите, что $AH=AO$.

б) Найдите площадь $\Delta AHO$, если $BC=6\sqrt{3}, \angle ABC=45^\circ$.

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ взяли точку $M$. Серединный перпендикуляр к $BM$ пересекает $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $K$ соответственно.

а) Докажите, что углы $AEM$ и $KMC$ равны.

б) Найдите отношение площадей треугольников $AEM$ и $MKC$, если $AM:CM=2:5$.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна

Точки $B_1$ и $C_1$ лежат на сторонах соответственно $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$, причём $\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{AC_1}{C_1B}$. Прямые $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $O$.

а) Докажите, что прямая $AO$ делит пополам сторону $BC$.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника $AB_1OC_1$ к площади треугольника $ABC$, если известно, что $\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{1}{4}$.

В трапеции ABCD точка E— середина основания AD, точка M— середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке O.

а) Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.

б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника AMOE, если BC=3, AD=4.

Источник: ЕГЭ 2016, основная волна

Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ пересекаются в точке $O$. Точки $M$ и $N$ отмечены на боковых сторонах $AB$ и $CD$ соответственно. Известно, что $AM = MO$, $CN = NO$.

а) Докажите, что точки $M$, $N$ и $O$ лежат на одной прямой.

б) Найдите $AM :MB$, если известно, что $AO = OC$ и $BC :AD = 1:7$.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна.

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R = 8$. Известно, что $AB = BC = CD = 12$.

а) Докажите, что прямая $BC$ параллельна $AD$.

б) Найдите $AD$.

Квадрат $ABCD$ со стороной $a$ вписан в окружность. Хорда $CE$ пересекает его диагональ $BD$ в точке $K$.

а) Докажите, что $CE \cdot CK = a^2$.

б) Найдите отношение $BK$ к $KE$, если $\angle BKC = 60^\circ$.

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Прямые, содержащие высоты $BM$ и $CN$ треугольника $ABC$, пересекаются в точке $H$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

а) Докажите, что $AH = AO$.

б) Найдите площадь треугольника $AHO$, если $BC=\sqrt{15}$, $\angle ABC = 45^\circ$.

Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Прямая $OB$ вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке $P$.

a) Докажите, что $\angle POC = \angle PCO$.

б) Найдите площадь треугольника $APC$, если радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности равен $4$, а $\angle ABC = 120^\circ$.

В острогольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$. На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.

a) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны.

б) Найдите отношение $EH$ и $AC$, если $\angle ABC = 60^\circ$.

В острогольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$. На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.

a) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны.

б) Найдите отношение $EH$ и $AC$, если $\angle ABC = 45^\circ$.

В треугольник $ABC$ вписана окружность радиуса $R$, касающаяся стороны $AC$ в точке $M$, причём $AM = 5R$ и $CM = 1{,}5R$.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что $R = 4$.

Окружность с центром в точке $O$ вписана в ромб $ABCD$ и касается его сторон $AB$, $CD$ и $AD$ соответственно в точках $F$, $K$ и $P$.

а) Докажите, что прямая $FP$ параллельна диагонали ромба $BD$.

б) Найдите площадь ромба $ABCD$, если известно, что $FP = 6$ и $PK = 8$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C=90^\circ$) высота $CH$. На гипотенузе $AB$ отмечена точка $P$ так, что $AH=BP$. Перпендикуляр к $AB$ в точке $P$ пересекает описанную окружность в точках $Q$ и $T$.

a) Докажите, что $ACQB$ — равнобокая трапеция.

б) Найдите длину хорды $QT$, если известно, что $CQ=5$.

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток

В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, касающаяся катетов AC, BC и гипотенузы AB в точках M, E и K соответственно. EH – перпендикуляр из точки E на прямую MK.

а) Докажите, что EK ∥ CH.

б) Известно, что AC = 15, BC = 8. Найти отношение CH к EK.

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток

Дан ромб $ABCD$. Прямая, перпендикулярная стороне $AD$, пересекает его диагональ $AC$ в точке $M$, диагональ $BD$ --- в точке $N$, причем $AM : MC = 1 : 2$, $BN : ND = 1 : 3$.

а) Докажите, что $\cos \angle BAD = 0,2$.

б) Найдите площадь ромба, если $MN = 5$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $K$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $MN$ большей окружности касается меньшей в точке $C$. Хорды $KM$ и $KN$ пересекают меньшую окружность в точках $A$ и $B$ соответственно, а отрезки $KC$ и $AB$ пересекаются в точке $L$.

а) Докажите, что $CN : CM = LB : LA$.

б) Найдите длину хорды $MN$, если $LB : LA = 3 : 7$, а радиус меньшей окружности равен $\sqrt{17}$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.

б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите $AL$, если радиус большей окружности равен $34$, а $BC = 32$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.

б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите $AL$, если радиус большей окружности равен $10$, а $BC = 16$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $K$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $MN$ большей окружности касается меньшей в точке $C$. Хорды $KM$ и $KN$ пересекают меньшую окружность в точках $A$ и $B$ соответственно, а отрезки $KC$ и $AB$ пересекаются в точке $L$.

а) Докажите, что $CN : CM = LB : LA$.

б) Найдите $MN$, если $LB : LA = 2 : 3$, а радиус меньшей окружности равен $\sqrt{23}$.

Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. На стороне $AB$ как на диаметре построена окружность с центром в точке $O$, касающаяся стороны $CD$ и повторно пересекающая основание $AD$ в точке $H$. Точка $Q$ — середина стороны $CD$.

а) Докажите, что $OQDH$ — параллелограмм.

б) Найдите $AD$, если $\angle BAD=60^\circ$, $BC=2$.

Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, а окружность, описанную около треугольника $ABC$, — в точке $M$.

а) Докажите, что треугольник $BMC$ равнобедренный.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $KMC$, если $AC = 3$, $BC = 8$, $AB = 9$.

Дан прямоугольник $ABCD$. Известно, что $CD = 3AD$. Точка $M$ — середина его стороны $AD$. На стороне $CD$ отмечена точка $N$.
Известно, что $CN = 2ND$. Точка $K$ — середина отрезка $CM$.

a) Докажите, что точки $B$, $N$ и $K$ лежат на одной прямой.

б) Найдите $KN$, если известно, что $AD = 4\sqrt{5}$.

Дан прямоугольник $ABCD$. Известно, что $CD = 3AD$. Точка $M$ — середина его стороны $AD$. На стороне $CD$ отмечена точка $N$.
Известно, что $CN = 2ND$. Точка $K$ — середина отрезка $CM$.

a) Докажите, что точки $B$, $N$ и $K$ лежат на одной прямой.

б) Найдите $KN$, если известно, что $AD = 4$.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высота CC1 и медиана $AA_1$, причем точки $A$, $C$, $A1$ и $ C1$ лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если $AA_1 : CC_1$ = $3:2$ и $A_1C_1=2$.

Дан ромб $ABCD$. На диагонали $AC$ отмечены точки $M$ и $N$, так что $AM = NM = NC$. Прямая $BM$ пересекает сторону $AD$ в точке $P$, а прямая $BN$ пересекает сторону $CD$ в точке $Q$.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника $BPDQ$ равна площади треугольника $ADC$.

б) Найдите $BD$, если известно, что $AC = 2\sqrt{3}$ и около пятиугольника $MNQDP$ можно описать окружность.

В ромбе $ABCD$ точки $P$ и $Q$ — середины сторон $AD$ и $DC$ соответственно. Прямые $BP$ и $BQ$ пересекают диагональ $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что $S_{BMN}$ = $S_{AMP} + S_{NQC}$.

б) Известно, что в пятиугольник $DPMNQ$ можно вписать окружность. Найдите ее радиус, если сторона ромба ABCD равна $6\sqrt5$.

В ромбе $ABCD$ точки $P$ и $Q$ — середины сторон $AD$ и $DC$ соответственно. Прямые $BP$ и $BQ$ пересекают диагональ $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что $S_{BMN}$ = $S_{AMP} + S_{NQC}$.

б) Известно, что в пятиугольник $DPMNQ$ можно вписать окружность. Найдите ее радиус, если сторона ромба ABCD равна $12\sqrt5$.

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Известно, что точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, а $\angle BAC = 2\angle ABC$. Вокруг треугольника $AOC$ описана окружность, которая пересекает сторону $BC$ в точке $P$.

а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $PAC$ подобны.

б) Найдите $AB$, если $BC = \sqrt{21}$ и $AC = 3$.

В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и медиана $AM$, угол $ACB$ равен $30^\circ$. Точка $H$ лежит на отрезке $BM$. В треугольнике $ACM$ проведена высота $MQ$. Прямые $MQ$ и $AH$ пересекаются в точке $F$. Известно, что $AM$ — биссектриса угла $HAC$.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника $CFM$, если $AB = 8$.