Планиметрическая задача

Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, а окружность, описанную около треугольника $ABC$, — в точке $M$.

а) Докажите, что треугольник $BMC$ равнобедренный.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $KMC$, если $AC = 6$, $BC = 7$, $AB = 8$.

В ромбе $ABCD$ точки $P$ и $Q$ — середины сторон $AD$ и $DC$ соответственно. Прямые $BP$ и $BQ$ пересекают диагональ $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что $S_{BMN}$ = $S_{AMP} + S_{NQC}$.

б) Известно, что в пятиугольник $DPMNQ$ можно вписать окружность. Найдите ее радиус, если сторона ромба ABCD равна $6\sqrt5$.

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Известно, что точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, а $\angle BAC = 2\angle ABC$. Вокруг треугольника $AOC$ описана окружность, которая пересекает сторону $BC$ в точке $P$.

а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $PAC$ подобны.

б) Найдите $AB$, если $BC = 6$ и $AC = 4$.

Дана трапеция с диагоналями, равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Дана трапеция с диагоналями, равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и медиана $AM$, угол $ACB$ равен $30^\circ$. Точка $H$ лежит на отрезке $BM$. В треугольнике $ACM$ проведена высота $MQ$. Прямые $MQ$ и $AH$ пересекаются в точке $F$. Известно, что $AM$ — биссектриса угла $HAC$.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника $CFM$, если $AB = 10$.

В четырёхугольник $ KLMN $ вписана окружность с центром $ O $. Эта окружность касается стороны $ MN $ в точке $ A $. Известно, что $\angle MNK = 90^\circ, \quad \angle NKL = \angle KLM = 120^\circ.$

a) Докажите, что точка $ A $ лежит на прямой $ LO $.

б) Найдите длину стороны $ MN $, если $ LA = 3 $.

В четырёхугольник $ KLMN $ вписана окружность с центром $ O $. Эта окружность касается стороны $ MN $ в точке $ A $. Известно, что $\angle MNK = 90^\circ, \quad \angle NKL = \angle KLM = 120^\circ.$

a) Докажите, что точка $ A $ лежит на прямой $ LO $.

б) Найдите длину стороны $ MN $, если $ LA = 1 $.

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O$. Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK = 90^\circ, \quad \angle NKL = \angle KLM = 120^\circ.$

a) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.

б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA = \sqrt3$.

Биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекает его сторону $AD$ в точке $M$. Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма пересекаются в точке $O$. Окружность, описанная вокруг треугольника $ABM$, касается прямых $BC$ и $OM$.

а) Докажите, что $AB \perp BD$.

б) Отрезки $AC$ и $BM$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь четырехугольника $KODM$, если $OM$ = 2.

Дан ромб $ABCD$. На диагонали $AC$ отмечены точки $M$ и $N$, так что $AM = NM = NC$. Прямая $BM$ пересекает сторону $AD$ в точке $P$, а прямая $BN$ пересекает сторону $CD$ в точке $Q$.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника $BPDQ$ равна площади треугольника $ADC$.

б) Найдите $BD$, если известно, что $AC = 2\sqrt{5}$ и около пятиугольника $MNQDP$ можно описать окружность.