Разные города

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $75^\circ$, угол $CAD$ равен $35^\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\vec a(3; -2)$ и $\vec b(0; 1)$. Найдите скалярное произведение $\vec a\cdot \vec b$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA1B1C1D1$ известно, что $AB = 4$, $AD = 3$, $AA_1 = 4$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $D, B, B_1, C_1$.

Вероятность того, что на тестировании по истории учащийся решит больше 10 задач, равна 0,75. Вероятность того, что учащийся верно решит больше 9 задач, равна 0,8. Найдите вероятность того, что учащийся верно решит ровно 10 задач.

В коробке 8 синих, 6 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

Найдите корень уравнения: $(2x + 7)^2 = (2x - 1)^2$.

Найдите значение выражения $\frac{(2\sqrt7)^2}{14}$.

Найдите точку максимума функции $y=\dfrac{16}{x}+x+3$.

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 2$ моль воздуха при давлении $p_1 = 1,5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = a\nu T \log_2 \frac{p_2}{p_1}$, где $a = 5,75 \,Дж/(моль$\cdot$К)$ — постоянная, $T = 300 \, \text{K}$ — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 6900Дж.

Имеется два сосуда. Первый содержит $30$ кг, а второй~--- $20$ кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий $68$% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий $70$% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

На рисунке изображен график функции вида $f(x) = a^x$. Найдите $f(4)$.

a) Решите уравнение: $4\cos^3x + \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = 0$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi; 2\pi]$

Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точки $M$ и $K$ — середины его ребер $AB$ и $BC$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точку $B$ параллельно прямым $A_1M$ и $B_1K$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через точку $D$.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью $\alpha$, если его ребра равны 2.

Решите неравенство $\frac{1,5^x - 3,375}{0,25^x-0,5^{x - 3,5} + 32} \leq 0$

В июле планируется открыть вклад в банке под $25\%$ годовых на некоторую сумму. В начале $2, 3 и 4$ годов со вклада снимают одну и ту же сумму. Найдите исходную сумму вклада, если после третьего снятия на вкладе осталось 0 рублей, а всего было снято 375 000 рублей.

Дан прямоугольник $ABCD$. Известно, что $CD = 3AD$. Точка $M$ — середина его стороны $AD$. На стороне $CD$ отмечена точка $N$.
Известно, что $CN = 2ND$. Точка $K$ — середина отрезка $CM$.

a) Докажите, что точки $B$, $N$ и $K$ лежат на одной прямой.

б) Найдите $KN$, если известно, что $AD = 4\sqrt{5}$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\sqrt{x+3a}\cdot \ln(x - 2a) = (x-1)\ln(x-2a)$$

имеет ровно 1 корень на отрезке $[0; 1]$.

На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 50. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, большие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 51, с доски стёрли, но на доске осталось хотя бы одно число.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске уменьшилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 17?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 24. Найдите наименьшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.